《2025年课时训练七年级数学上册苏科版江苏人民出版社》

14. 探究规律,完成相关题目。
定义“*”运算：
例：①$( + 2)*( + 4)= + (2^2 + 4^2)$；
②$(-4)*(-7)= [(-4)^2 + (-7)^2]$；
③$(-2)*( + 4)= - [(-2)^2 + ( + 4)^2]$；
④$( + 5)*(-7)= - [( + 5)^2 + (-7)^2]$；
⑤$0*(-5)= (-5)*0= (-5)^2$；
⑥$0*0= 0^2 + 0^2 = 0$；
⑦$( + 3)*0= 0*( + 3)= ( + 3)^2$。
(1) 计算：①$(-1)*(-1)$=[(-1)² + (-1)²]=2；
②$(-1)*[0*(-2)]$=(-1)*(-2)²=(-1)*(+4)= -[(-1)² + (+4)²]= -17。
(2) 归纳*运算的法则：两数进行*运算时,同号得正,异号得负,并把两数的平方相加。
特别地,0和任何数进行*运算,或任何数和0进行*运算,结果等于这个数的平方。
(3) 是否存在整数$m$,$n$,使得$(m - 1)*(n + 2)= - 2$？若存在,求出$m - n$的值；若不存在,说明理由。
存在.理由如下:
∵(m - 1)*(n + 2)= -2，
∴m - 1＜0,n + 2＞0或m - 1＞0,n + 2＜0，　即 -[(m - 1)² + (n + 2)²]= -2，
∴(m - 1)² + (n + 2)² = 2.
∵m,n是整数，
∴m = 0,n = -1或m = 2,n = -3.
∴m - n = 1或5.

答案：
(1)①(-1)*(-1)=[(-1)² + (-1)²]=2.　②(-1)*[0*(-2)]=(-1)*(-2)²=(-1)*(+4)= -[(-1)² + (+4)²]= -17.　
(2)正　负　平方相加　平方　
(3)存在.理由如下:
∵(m - 1)*(n + 2)= -2，
∴m - 1＜0,n + 2＞0或m - 1＞0,n + 2＜0，　即 -[(m - 1)² + (n + 2)²]= -2，
∴(m - 1)² + (n + 2)² = 2.
∵m,n是整数，
∴m = 0,n = -1或m = 2,n = -3.
∴m - n = 1或5.

15. “分类讨论”是一种重要数学思想方法,下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答题目后提出的四个问题。
例：三个有理数$a$,$b$,$c满足abc ＞ 0$,求$\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c}$的值。
解：由题意,得$a$,$b$,$c$三个有理数都为正数或其中一个为正数,另两个为负数。
①当$a$,$b$,$c$都是正数,即$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,$c ＞ 0$时,
则$\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b}{b} + \frac{c}{c} = 1 + 1 + 1 = 3$；
②当$a$,$b$,$c$有一个为正数,另两个为负数时,
设$a ＞ 0$,$b ＜ 0$,$c ＜ 0$,
则$\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c} = \frac{a}{a} + \frac{-b}{b} + \frac{-c}{c} = 1 + (-1) + (-1) = -1$。
综上所述,$\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c}$的值为3或$-1$。
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1) 已知$|a| = 3$,$|b| = 1$,且$a ＜ b$,求$a + b$的值；
(2) 已知$a$,$b$是有理数,当$ab \neq 0$时,求$\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|}$的值；
(3) 已知$a$,$b$,$c$是有理数,$a + b + c = 0$,$abc ＜ 0$,求$\frac{b + c}{|a|} + \frac{a + c}{|b|} + \frac{a + b}{|c|}$的值；
(4) 若$a$,$b$,$c$均为整数,且$|a - b|^{20} + |c - a|^{19} = 1$,化简：$|c - a| + |2a - 2b| + |3b - 3c|$。

答案：
(1)
∵|a| = 3,|b| = 1，且a＜b，
∴a = -3,b = 1或 -1，
∴a + b = -2或 -4.　
(2)已知a,b是有理数，当ab≠0时，　①若a＜0,b＜0，则a/|a| + b/|b| = -1 - 1 = -2；　②若a＞0,b＞0，则a/|a| + b/|b| = 1 + 1 = 2；　③若a,b异号，则a/|a| + b/|b| = 0.　故a/|a| + b/|b|的值为±2或0.
(3)已知a,b,c是有理数，a + b + c = 0,abc＜0.
∴b + c = -a,a + c = -b,a + b = -c,a,b,c两正一负，
∴(b + c)/|a| + (a + c)/|b| + (a + b)/|c| = -a/|a| - b/|b| - c/|c| = -1.
(4)
∵a,b,c均为整数，且|a - b|²⁰ + |c - a|¹⁹ = 1，
∴a = b,c - a = ±1或a - b = ±1,c = a，
∴当a = b,c - a = ±1时，|c - a| + |2a - 2b| + |3b - 3c| = 1 + 0 + 3 = 4；当a - b = ±1,c = a时，|c - a| + |2a - 2b| + |3b - 3c| = 0 + 2 + 3 = 5.综上所述，原式的值为4或5.