《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. 如图,已知点O是$∠APB$内的一点,点M,N分别是点O关于PA,PB的对称点,连接MN,与PA,PB分别相交于点E,F,已知$MN=6cm$。
(1)求$△OEF$的周长;
(2)连接PM,PN,若$∠APB=α$,求$∠MPN$的度数(用含α的代数式表示)。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\triangle OEF$的周长
- 因为点$M$是点$O$关于$PA$的对称点，根据对称点的性质可知$PA$是线段$OM$的垂直平分线，所以$ME = OE$。
- 同理，点$N$是点$O$关于$PB$的对称点，所以$PB$是线段$ON$的垂直平分线，$NF = OF$。
- 那么$\triangle OEF$的周长$C_{\triangle OEF}=OE + EF+OF$，将$ME = OE$，$NF = OF$代入可得：$C_{\triangle OEF}=ME + EF + NF$。
- 而$ME + EF + NF=MN$，已知$MN = 6cm$，所以$\triangle OEF$的周长为$6cm$。
### $(2)$求$\angle MPN$的度数
- 连接$PO$。
- 因为点$M$是点$O$关于$PA$的对称点，所以$PA$垂直平分$OM$，则$\angle MPA=\angle APO$。
- 同理，点$N$是点$O$关于$PB$的对称点，所以$PB$垂直平分$ON$，则$\angle NPB=\angle BPO$。
- 所以$\angle MPN=\angle MPA+\angle APO+\angle BPO+\angle NPB = 2(\angle APO+\angle BPO)$。
- 又因为$\angle APO+\angle BPO=\angle APB=\alpha$，所以$\angle MPN = 2\alpha$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{6cm}$；$(2)$$\boldsymbol{2\alpha}$