《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,$DE\perp AB$,如果$DE = 6cm$,$\angle CAD = 28^{\circ}$,求$CD的长度及\angle B$的度数。

答案： 【解析】：
- 求$CD$的长度：
因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），$DE\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$CD = DE$。
已知$DE = 6cm$，所以$CD = 6cm$。
求$\angle B$的度数：
因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle CAD = 28^{\circ}$，所以$\angle BAC=2\angle CAD = 2×28^{\circ}=56^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle B=180^{\circ}-\angle C-\angle BAC$。
把$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 56^{\circ}$代入可得：$\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-56^{\circ}=34^{\circ}$。
【答案】：
$CD$的长度为$6cm$，$\angle B$的度数为$34^{\circ}$。

19. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle CAB = 30^{\circ}$,以$AB为边在\triangle ABC外作等边三角形ABD$,$E是AB$的中点,连接$CE并延长交AD于点F$。求证:$\triangle AEF\cong\triangle BEC$。

答案： 【解析】：
- 因为$\triangle ABD$是等边三角形，所以$\angle DAB = 60^{\circ}$。
- 已知$\angle CAB = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$E$是$AB$中点，根据直角三角形斜边中线定理，$CE = AE = BE=\frac{1}{2}AB$，所以$\angle ECA=\angle CAB = 30^{\circ}$，则$\angle BEC=\angle ECA+\angle CAB = 60^{\circ}$。
- 又因为$\angle DAB = 60^{\circ}$，所以$\angle BEC=\angle DAB$。
- 在$\triangle AEF$和$\triangle BEC$中：
$\angle AEF=\angle BEC$（对顶角相等）。
$AE = BE$（已证）。
$\angle EAF=\angle EBC = 60^{\circ}$（$\angle EBC = 60^{\circ}$，因为$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\triangle ABD$是等边三角形，$\angle DAB = 60^{\circ}$即$\angle EAF = 60^{\circ}$）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle AEF\cong\triangle BEC$。
【答案】：在$\triangle AEF$和$\triangle BEC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle AEF = \angle BEC\\AE = BE\\\angle EAF=\angle EBC\end{array}\right.$，所以$\triangle AEF\cong\triangle BEC(ASA)$。