《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

17. (1)计算:$-a^{2}(-2ab)+3a(a^{2}b-1);$
(2)先化简,再求值:$3a(2a^{2}-4a+3)-2a^{2}(3a+4)$,其中$a= -2$。

答案： 【解析】：
(1)
首先，根据单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
计算$-a^{2}(-2ab)$：系数相乘$(-1)×(-2)=2$，同底数幂相乘$a^{2}\cdot a = a^{2 + 1}=a^{3}$，$b$照写，所以$-a^{2}(-2ab)=2a^{3}b$。
计算$3a(a^{2}b - 1)$：根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即$3a× a^{2}b-3a×1 = 3a^{3}b-3a$。
然后，将上述结果相加：$-a^{2}(-2ab)+3a(a^{2}b - 1)=2a^{3}b+3a^{3}b - 3a$，合并同类项，$2a^{3}b$与$3a^{3}b$是同类项，系数相加$2 + 3 = 5$，所以结果为$5a^{3}b-3a$。
(2)
先化简$3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)$：
根据单项式乘多项式的运算法则，$3a(2a^{2}-4a + 3)=3a×2a^{2}-3a×4a+3a×3 = 6a^{3}-12a^{2}+9a$；$2a^{2}(3a + 4)=2a^{2}×3a+2a^{2}×4 = 6a^{3}+8a^{2}$。
则$3a(2a^{2}-4a + 3)-2a^{2}(3a + 4)=(6a^{3}-12a^{2}+9a)-(6a^{3}+8a^{2})$，去括号得$6a^{3}-12a^{2}+9a - 6a^{3}-8a^{2}$，合并同类项，$6a^{3}$与$-6a^{3}$抵消，$-12a^{2}$与$-8a^{2}$合并为$(-12 - 8)a^{2}=-20a^{2}$，所以化简结果为$-20a^{2}+9a$。
再求值，当$a = - 2$时，把$a=-2$代入$-20a^{2}+9a$得：
$-20×(-2)^{2}+9×(-2)$，先计算指数运算$(-2)^{2}=4$，则式子变为$-20×4-18$，再计算乘法$-20×4=-80$，最后计算减法$-80-18=-98$。
【答案】：
(1)$5a^{3}b - 3a$；
(2)$-98$

18. 在计算$(x+a)(x+b)$时,甲把b错看成了6,得到结果是$x^{2}+8x+12$。乙错把a看成了-a,得到结果是$x^{2}+x-6$。
(1)求出 a,b 的值;
(2)在(1)的条件下,计算$(x+a)(x+b)$的结果。

答案： 【解析】：
1. 首先根据甲的计算情况：
甲把$b$错看成了$6$，则$(x + a)(x + 6)=x^{2}+6x+ax + 6a=x^{2}+(6 + a)x+6a$。
又因为甲得到的结果是$x^{2}+8x + 12$，所以可得方程组$\begin{cases}6 + a=8\\6a = 12\end{cases}$。
解第一个方程$6 + a=8$，移项可得$a=8 - 6=2$。
2. 然后根据乙的计算情况：
乙错把$a$看成了$-a$，则$(x - a)(x + b)=x^{2}+bx-ax - ab=x^{2}+(b - a)x - ab$。
又因为乙得到的结果是$x^{2}+x - 6$，所以可得方程组$\begin{cases}b - a=1\\-ab=-6\end{cases}$。
把$a = 2$代入$b - a=1$中，得到$b-2 = 1$，移项可得$b=1 + 2=3$。
3. 最后计算$(x + a)(x + b)$：
把$a = 2$，$b = 3$代入$(x + a)(x + b)$，则$(x + 2)(x + 3)$。
根据多项式乘法法则$(m + n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，这里$m = x$，$n = 2$，$p = x$，$q = 3$，所以$(x + 2)(x + 3)=x^{2}+3x+2x + 6=x^{2}+5x + 6$。
【答案】：
(1)$a = 2$，$b = 3$；
(2)$x^{2}+5x + 6$