《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. (1)如图①,已知:在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC$,直线m经过点A,$BD⊥$直线m,$CE⊥$直线m,垂足分别为点D,E,证明:$DE= BD+CE$。
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在$△ABC$中,$AB= AC$,D,A,E三点都在直线m上,并且有$∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α$,其中α为任意锐角或钝角。请问结论$DE= BD+CE$是否成立? 若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由。
(3)将(1)中的直线m绕点A旋转,使其与BC边相交,则结论$DE= BD+CE$是否还成立? 若成立,请你给出证明;若不成立,请写出所有可能的结论,并在图③中画出相应的图形。

答案： 【解析】：
(1) 因为$BD\perp$直线$m$，$CE\perp$直线$m$，所以$\angle BDA=\angle AEC = 90^{\circ}$。
$\angle BAD+\angle CAE = 180^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}$，又因为$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，所以$\angle CAE=\angle ABD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}\angle ABD=\angle CAE\\\angle BDA=\angle AEC\\AB = AC\end{cases}$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
则$BD = AE$，$AD = CE$，所以$DE=AD + AE=BD + CE$。
(2) 成立。
因为$\angle BDA=\angle BAC=\alpha$，所以$\angle DBA+\angle BAD=\angle BAD +\angle CAE = 180^{\circ}-\alpha$，所以$\angle DBA=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}\angle BDA=\angle AEC\\\angle DBA=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
则$BD = AE$，$AD = CE$，所以$DE=AE + AD=BD + CE$。
(3) 不成立。结论为$\vert DE\vert=\vert BD - CE\vert$。
当直线$m$绕点$A$旋转与$BC$边相交时，分两种情况：
当$BD\gt CE$时，$DE = BD - CE$；
当$BD\lt CE$时，$DE = CE - BD$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 成立，证明见上述解析。
(3) 不成立，结论为$\vert DE\vert=\vert BD - CE\vert$，图形略（根据上述分析画出直线$m$与$BC$相交的两种情况即可）。