《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

15. 为了解学生对所学知识的应用能力,某校老师在七年级数学兴趣小组活动中,设置了这样的问题:因为池塘两端A,B之间的距离无法直接测量,请同学们设计方案测量A,B之间的距离。甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案:
甲:如图1,先在平地上取一个可以直接到达点A,B的点O,连接AO并延长到点C,连接BO并延长到点D,使$CO= AO,DO= BO$,连接DC,测出DC的长即可;
乙:如图2,先确定直线AB,过点B作直线$BE⊥AB$,在直线BE上找可以直接到达点A的一点D,连接DA,作$DC= DA$,交直线AB于点C,最后测量BC的长即可。
甲、乙两位同学的方案是否可行? 请说明理由。

答案： 【解析】：
- **甲同学方案**：
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$\left\{\begin{array}{l}AO = CO\\\angle AOB=\angle COD\\BO = DO\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AOB\cong\triangle COD$。
由全等三角形的性质可知$AB = CD$，所以测出$DC$的长就可得到$AB$的长，甲同学方案可行。
- **乙同学方案**：
因为$BE\perp AB$，所以$\angle ABD=\angle CBD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CBD$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CD\\BD = BD\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边、直角边）定理，可得$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CBD$。
由全等三角形的性质可知$AB = BC$，所以测量$BC$的长就可得到$AB$的长，乙同学方案可行。
【答案】：
甲、乙两位同学的方案都可行。理由：甲同学方案利用$SAS$证明$\triangle AOB\cong\triangle COD$，得$AB = CD$；乙同学方案利用$HL$证明$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CBD$，得$AB = BC$。