《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

15. 计算:
(1)$(-1)^{2022}+2^{-2}-(3.14-π)^{0};$
(2)$(-a)^{2}\cdot a^{4}÷a^{3};$
(3)已知$4^{m+3}\cdot 8^{m+1}÷2^{4m+7}= 16$,求 m 的值。

答案： 【解析】：
(1)
根据乘方的意义，$(-1)$的偶数次幂为$1$，可得$(-1)^{2022}=1$；
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$（$a\neq0$，$p$为正整数），可得$2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$；
根据零指数幂的运算法则$a^{0}=1$（$a\neq0$），可得$(3.14 - \pi)^{0}=1$。
则$(-1)^{2022}+2^{-2}-(3.14 - \pi)^{0}=1+\frac{1}{4}-1=\frac{1}{4}$。
(2)
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(-a)^{2}=(-1)^{2}× a^{2}=a^{2}$；
根据同底数幂的乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，则$(-a)^{2}\cdot a^{4}=a^{2}\cdot a^{4}=a^{2 + 4}=a^{6}$；
再根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$，所以$a^{6}÷ a^{3}=a^{6 - 3}=a^{3}$。
(3)
先将各项化为以$2$为底的幂：
因为$4=2^{2}$，所以$4^{m + 3}=(2^{2})^{m + 3}$，根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，可得$(2^{2})^{m + 3}=2^{2(m + 3)}=2^{2m+6}$；
因为$8 = 2^{3}$，所以$8^{m + 1}=(2^{3})^{m + 1}=2^{3(m + 1)}=2^{3m + 3}$；
$16=2^{4}$。
则$4^{m + 3}\cdot 8^{m + 1}÷ 2^{4m + 7}=2^{2m + 6}\cdot 2^{3m + 3}÷ 2^{4m + 7}$。
根据同底数幂的乘法法则$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，可得$2^{2m + 6}\cdot 2^{3m + 3}=2^{(2m + 6)+(3m + 3)}=2^{5m + 9}$；
再根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$，则$2^{5m + 9}÷ 2^{4m + 7}=2^{(5m + 9)-(4m + 7)}=2^{m + 2}$。
因为$4^{m + 3}\cdot 8^{m + 1}÷ 2^{4m + 7}=16$，即$2^{m + 2}=2^{4}$，根据指数相等则底数相等，可得$m + 2 = 4$，解得$m = 2$。
【答案】：
(1)$\frac{1}{4}$；
(2)$a^{3}$；
(3)$m = 2$

16. 计算:
(1)$2a^{2}×(-2ab)×(-ab)^{3};$
(2)$(-\frac {1}{2}xy^{2})^{3}\cdot (2xy^{3})^{3}\cdot y^{2};$
(3)$(2a^{2}b)^{3}\cdot b^{2}-7(ab^{2})^{2}\cdot a^{4}b$。

答案： 【解析】：
(1)
先根据积的乘方公式$(ab)^n = a^n× b^n$计算$(-ab)^{3}$：
$(-ab)^{3}=(-1)^3× a^3× b^3=-a^{3}b^{3}$。
再根据单项式乘单项式法则：系数相乘，同底数幂相乘，计算$2a^{2}×(-2ab)×(-ab)^{3}$：
$2a^{2}×(-2ab)×(-a^{3}b^{3})=[2×(-2)×(-1)]×(a^{2}× a× a^{3})×(b× b^{3}) = 4a^{6}b^{4}$。
(2)
先根据积的乘方公式分别计算$(-\frac{1}{2}xy^{2})^{3}$和$(2xy^{3})^{3}$：
$(-\frac{1}{2}xy^{2})^{3}=(-\frac{1}{2})^3× x^3×(y^{2})^3=-\frac{1}{8}x^{3}y^{6}$；
$(2xy^{3})^{3}=2^3× x^3×(y^{3})^3 = 8x^{3}y^{9}$。
然后根据单项式乘单项式法则计算$(-\frac{1}{2}xy^{2})^{3}\cdot(2xy^{3})^{3}\cdot y^{2}$：
$(-\frac{1}{8}x^{3}y^{6})\cdot(8x^{3}y^{9})\cdot y^{2}=(-\frac{1}{8}×8)×(x^{3}× x^{3})×(y^{6}× y^{9}× y^{2})=-x^{6}y^{17}$。
(3)
先根据积的乘方公式分别计算$(2a^{2}b)^{3}$和$(ab^{2})^{2}$：
$(2a^{2}b)^{3}=2^3×(a^{2})^3× b^3 = 8a^{6}b^{3}$；
$(ab^{2})^{2}=a^2×(b^{2})^2=a^{2}b^{4}$。
再根据单项式乘单项式法则分别计算$(2a^{2}b)^{3}\cdot b^{2}$和$7(ab^{2})^{2}\cdot a^{4}b$：
$(2a^{2}b)^{3}\cdot b^{2}=8a^{6}b^{3}\cdot b^{2}=8a^{6}b^{5}$；
$7(ab^{2})^{2}\cdot a^{4}b = 7a^{2}b^{4}\cdot a^{4}b=7a^{6}b^{5}$。
最后计算$(2a^{2}b)^{3}\cdot b^{2}-7(ab^{2})^{2}\cdot a^{4}b$：
$8a^{6}b^{5}-7a^{6}b^{5}=(8 - 7)a^{6}b^{5}=a^{6}b^{5}$。
【答案】：
(1)$4a^{6}b^{4}$；
(2)$-x^{6}y^{17}$；
(3)$a^{6}b^{5}$