《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

9. 一个多项式除以$2x - 1$,所得商式是$x^{2}+1$,余式是$5x$,则这个多项式是 ()
A. $2x^{3}-x^{2}+7x - 1$
B. $2x^{3}-x^{2}+2x - 1$
C. $7x^{3}-x^{2}+7x - 1$
D. $2x^{3}+9x^{2}-3x - 1$

答案： A

10. 若$(x - 100)^{2}+(x - 102)^{2}= 6$,则$(x - 101)^{2}$的值为 ()
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6

答案： B

11. 计算:$8x^{3}y÷(2x)^{2}= $____。

答案： $2xy$

12. 若$(x + 2)^{0}$无意义,则$x^{-2}= $____。

答案： $\frac{1}{4}$

13. 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”。什么是阿秒?1阿秒是$10^{-18}$秒,也就是十亿分之一秒的十亿分之一。目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒,将43阿秒用科学记数法表示为____秒。

答案： $4.3×10^{-17}$

14. 若$(x + 1)(x + m)的乘积中不含x$的一次项,则$m$的值为____。

答案： $-1$

15. 设$4x^{2}+mx + 9$是一个用完全平方公式得到的结果,则$m= $____。

答案： $\pm 12$

16. 某同学在计算$4(5 + 1)(5^{2}+1)$时,把4写成$(5 - 1)$后,发现可以连续运用平方差公式计算:$4(5 + 1)(5^{2}+1)= (5 - 1)(5 + 1)(5^{2}+1)= (5^{2}-1)(5^{2}+1)= 25^{2}-1= 624$。请借鉴该同学的经验,计算:$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})\cdot(1+\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{31}}= $____。

答案： $2$

17. (6分)用简便方法计算:
(1)$999×1001$;
(2)$15×101^{2}-99^{2}×15$。

答案： 【解析】：
(1) 对于$999×1001$，可将$999$变形为$(1000 - 1)$，$1001$变形为$(1000+1)$，然后根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$进行计算。
$999×1001=(1000 - 1)(1000 + 1)=1000^{2}-1^{2}=1000000 - 1 = 999999$。
(2) 对于$15×101^{2}-99^{2}×15$，先提取公因式$15$，得到$15×(101^{2}-99^{2})$，再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，其中$a = 101$，$b = 99$，则$101^{2}-99^{2}=(101 + 99)(101 - 99)$，然后进行计算。
$15×101^{2}-99^{2}×15=15×(101^{2}-99^{2})=15×(101 + 99)(101 - 99)=15×200×2=6000$。
【答案】：
(1)$999999$；
(2)$6000$