《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

12. 如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,这时小明离地面的高度是____cm。

答案： $\boldsymbol{80}$

13. 如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中$AB= AD,BC= DC$,将仪器上的点A与$∠PRQ$的顶点R重合,调整AB与AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是$∠PRQ$的平分线。试利用全等知识,说明角平分仪的画图原理。

答案： 【解析】：
在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$（公共边）
根据“边边边”（$SSS$）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADC$。
全等三角形的对应角相等，所以$\angle BAC=\angle DAC$，即$AE$是$\angle PRQ$的平分线。
【答案】：
在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$，所以$\triangle ABC\cong\triangle ADC(SSS)$，则$\angle BAC=\angle DAC$，即$AE$平分$\angle PRQ$。

14. 如图,王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺($AC= BC,∠ACB= 90^{\circ }$),点C在DE上,点A和点B分别与木墙的顶端重合。
(1)求证:$△ADC\cong △CEB$;
(2)求两堵木墙之间的距离。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle DAC = 90^{\circ}$，则$\angle DAC=\angle BCE$。
已知$AC = BC$，$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中，$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle DAC=\angle BCE\\AC = BC\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADC\cong\triangle CEB$。
(2) 由题意可知：$AD = 2×3 = 6cm$，$BE = 2×7 = 14cm$。
因为$\triangle ADC\cong\triangle CEB$，所以$AD = CE = 6cm$，$CD = BE = 14cm$。
那么$DE=CD + CE=14 + 6=30cm$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) $30cm$。