《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

19. 阅读后作答:我们知道,有些代数恒等式可以用平面图形的面积来表示,例如$(2a+b)(a+b)= 2a^{2}+3ab+b^{2}$,就可以用图 1 所示的面积关系来说明。

(1)图 2 中阴影部分的面积为 _ ;
(2)根据图 3 写出一个等式;
(3)已知等式$(x+p)(x+q)= x^{2}+(p+q)x+pq$,请画出一个相应的几何图形加以说明。

答案： 【解析】：
(1) 图 2 大正方形边长为$m + n$，空白部分面积为$m^{2}+n^{2}+2mn$，大正方形面积为$(m + n)^{2}$，所以阴影部分面积为$(m - n)^{2}$（也可直接看阴影部分为边长是$m - n$的正方形，面积为$(m - n)^{2}$）。
(2) 图 3 大长方形长为$2a + b$，宽为$a + 2b$，其面积为$(2a + b)(a + 2b)$，同时大长方形由$2$个$a^{2}$，$5$个$ab$，$2$个$b^{2}$组成，所以等式为$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$。
(3) 画一个长为$x + p$，宽为$x + q$的长方形，将其分割为一个边长为$x$的正方形，一个长为$x$宽为$p$的长方形，一个长为$x$宽为$q$的长方形，一个长为$p$宽为$q$的长方形（图形略，可参考题干图形绘制思路）。
【答案】：
(1)$(m - n)^{2}$
(2)$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$
(3) 画出长为$x + p$，宽为$x + q$的长方形，按上述思路分割（图形略）。