《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. 小白在进行两个多项式的乘法运算时,不小心把乘$\frac{x + y}{2}错抄成乘\frac{x}{2}$,得到结果$(3x^{2}-5xy)$,则第一个多项式是多少? 正确的结果又该是多少?

答案： 【解析】：本题可根据错误的计算结果和错误的乘数求出第一个多项式，再用求出的第一个多项式乘以正确的乘数得到正确结果。
- **步骤一：求第一个多项式**
已知小白把乘$\frac{x + y}{2}$错抄成乘$\frac{x}{2}$，得到结果$(3x^{2}-5xy)$，根据“因数$=$积$÷$另一个因数”，用错误的结果$(3x^{2}-5xy)$除以错误的乘数$\frac{x}{2}$，即可求出第一个多项式：
$(3x^{2}-5xy)÷\frac{x}{2}=(3x^{2}-5xy)×\frac{2}{x}=3x^{2}×\frac{2}{x}-5xy×\frac{2}{x}=6x - 10y$
- **步骤二：求正确的结果**
用求出的第一个多项式$6x - 10y$乘以正确的乘数$\frac{x + y}{2}$，可得：
$(6x - 10y)×\frac{x + y}{2}=(6x - 10y)×\frac{1}{2}×(x + y)=(3x - 5y)(x + y)$
根据多项式乘法法则展开$(3x - 5y)(x + y)$：
$\begin{aligned}&(3x - 5y)(x + y)\\=&3x× x + 3x× y - 5y× x - 5y× y\\=&3x^{2} + 3xy - 5xy - 5y^{2}\\=&3x^{2} - 2xy - 5y^{2}\end{aligned}$
【答案】：第一个多项式是$6x - 10y$；正确的结果是$3x^{2} - 2xy - 5y^{2}$

19. (规律探究)观察下列式子:
$(x^{2}-1)÷(x - 1)= x + 1$;
$(x^{3}-1)÷(x - 1)= x^{2}+x + 1$;
$(x^{4}-1)÷(x - 1)= x^{3}+x^{2}+x + 1$;
$(x^{5}-1)÷(x - 1)= x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$。
(1)根据以上式子,请直接写出$(x^{n}-1)÷(x - 1)$的结果($n$为正整数);
(2)计算:$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{2021}$。

答案： 【解析】：
1. 对于$(1)$：
观察所给的式子：
$(x^{2}-1)÷(x - 1)=x + 1=x^{2 - 1}+x^{2 - 2}$；
$(x^{3}-1)÷(x - 1)=x^{2}+x + 1=x^{3 - 1}+x^{3 - 2}+x^{3 - 3}$；
$(x^{4}-1)÷(x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1=x^{4 - 1}+x^{4 - 2}+x^{4 - 3}+x^{4 - 4}$；
$(x^{5}-1)÷(x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1=x^{5 - 1}+x^{5 - 2}+x^{5 - 3}+x^{5 - 4}+x^{5 - 5}$。
由此可归纳出规律：当$n$为正整数时，$(x^{n}-1)÷(x - 1)=x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x^{2}+x + 1$。
2. 对于$(2)$：
由$(1)$可知$(x^{n}-1)÷(x - 1)=x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x^{2}+x + 1$。
令$x = 2$，$n=2022$，则$(2^{2022}-1)÷(2 - 1)=2^{2021}+2^{2020}+\cdots+2^{2}+2 + 1$。
因为$(2^{2022}-1)÷(2 - 1)=\frac{2^{2022}-1}{1}=2^{2022}-1$，所以$1 + 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{2021}=2^{2022}-1$。
【答案】：
(1)$x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x^{2}+x + 1$；
(2)$2^{2022}-1$