《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

17. 如图,图 1 为边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形,图 2 是由图 1 中阴影部分拼成的一个长方形。
(1)设图 1 中阴影部分面积为$S_{1}$,图 2 中阴影部分面积为$S_{2}$,请用含 a,b 的代数式表示:$S_{1}= $____,$S_{2}= $____;
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式? 请写出这个乘法公式;
(3)运用(2)中得到的公式,计算:$2022^{2}-2021×2023$。

答案： 【解析】：
(1) 图1中阴影部分面积$S_{1}$是大正方形面积减去小正方形面积，大正方形边长为$a$，面积为$a^{2}$，小正方形边长为$b$，面积为$b^{2}$，所以$S_{1}=a^{2}-b^{2}$；图2中长方形的长为$a + b$，宽为$a - b$，根据长方形面积公式$S=$长$×$宽，所以$S_{2}=(a + b)(a - b)$。
(2) 因为$S_{1}=S_{2}$，所以$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这验证了平方差公式。
(3) 对于$2022^{2}-2021×2023$，把$2021×2023$变形为$(2022 - 1)×(2022 + 1)$，根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 2022$，$b = 1$，则$2022^{2}-(2022 - 1)×(2022 + 1)=2022^{2}-(2022^{2}-1^{2})=2022^{2}-2022^{2}+1 = 1$。
【答案】：
(1)$a^{2}-b^{2}$，$(a + b)(a - b)$
(2)$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$
(3)$1$

18. 有足够多的长方形和正方形卡片,分别记为 1 号,2 号,3 号卡片,如图 1 所示。


(1)如果选取 4 张 3 号卡片,拼成如图 2 所示的一个正方形,请你用 2 种不同的方法表示阴影部分的面积。
①方法 1:____;方法 2:____。
②请写出代数式$(m+n)^{2},(m-n)^{2},4mn$这三个代数式之间的等量关系:____。
(2)解决问题:若$|a+b-6|+|ab-4|= 0$,求$(a-b)^{2}$的值。
(3)如果选取 1 张 1 号,2 张 2 号,3 张 3 号卡片,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙),请画出这个拼出的长方形,根据图形的面积关系得到的等式是____。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 表示阴影部分面积
① **方法1**：
阴影部分是正方形，其边长为$(m - n)$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得阴影部分面积$S=(m - n)^{2}$。
**方法2**：
大正方形边长为$(m + n)$，根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，大正方形面积为$(m + n)^{2}$，$4$张$3$号卡片的面积为$4mn$，那么阴影部分面积$S=(m + n)^{2}-4mn$。
② 由①中两种方法表示阴影部分面积相等，可得$(m - n)^{2}=(m + n)^{2}-4mn$。
### $(2)$ 求$(a - b)^{2}$的值
因为$\vert a + b-6\vert+\vert ab - 4\vert = 0$，根据绝对值的非负性，即$\vert x\vert\geq0$，要使两个非负数的和为$0$，则$\vert a + b-6\vert=0$且$\vert ab - 4\vert = 0$。
所以$a + b = 6$，$ab = 4$。
根据$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$，把$a + b = 6$，$ab = 4$代入可得：
$(a - b)^{2}=6^{2}-4×4=36 - 16=20$。
### $(3)$ 写出等式
$1$号卡片面积为$m× m=m^{2}$，$2$号卡片面积为$n× n=n^{2}$，$3$号卡片面积为$m× n=mn$。
$1$张$1$号，$2$张$2$号，$3$张$3$号卡片的面积和为$m^{2}+3mn + 2n^{2}$。
拼成的长方形长为$(m + 2n)$，宽为$(m + n)$，根据长方形面积公式$S = 长×宽$，面积为$(m + 2n)(m + n)$。
所以等式为$m^{2}+3mn + 2n^{2}=(m + n)(m + 2n)$。
【答案】：
$(1)$ ①$(m - n)^{2}$；$(m + n)^{2}-4mn$ ②$(m - n)^{2}=(m + n)^{2}-4mn$
$(2)$$20$
$(3)$$m^{2}+3mn + 2n^{2}=(m + n)(m + 2n)$