《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. (8分)如图,$B处在A处的南偏西45^{\circ}$方向,$C处在B处的北偏东80^{\circ}$方向。
(1)求$∠ABC$的度数;
(2)要使$CD// AB$,$D处应在C$处的什么方向?

答案： 【解析】：
(1) 因为$B$处在$A$处的南偏西$45^{\circ}$方向，所以$\angle BAE = 45^{\circ}$，又因为$AE// BF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ABF=\angle BAE = 45^{\circ}$。
已知$\angle FBC = 80^{\circ}$，那么$\angle ABC=\angle FBC-\angle ABF=80^{\circ}-45^{\circ}=35^{\circ}$。
(2) 过$C$点作$CG// BF$，因为$BF// AE$，所以$CG// AE$。
若$CD// AB$，根据两直线平行，内错角相等，$\angle ABC = \angle BCD$。
因为$BF// CG$，所以$\angle FBC=\angle BCG = 80^{\circ}$，则$\angle GCD=\angle BCD = 35^{\circ}$。
又因为$CG$方向与正南正北方向平行，所以$D$处应在$C$处的南偏西$45^{\circ}$方向。
【答案】：
(1) $35^{\circ}$；
(2) 南偏西$45^{\circ}$方向。

19. (8分)如图,已知$∠AOB$的补角等于它的余角的10倍。
(1)求$∠AOB$的度数;
(2)若$OD平分∠BOC$,$∠AOC = 3∠BOD$,求$∠AOD$的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle AOB$的度数
设$\angle AOB = x$，
- **步骤一：分别表示出$\angle AOB$的补角和余角**
补角的定义：若两角之和为$180^{\circ}$，则这两个角互为补角，所以$\angle AOB$的补角为$(180 - x)^{\circ}$。
余角的定义：若两角之和为$90^{\circ}$，则这两个角互为余角，所以$\angle AOB$的余角为$(90 - x)^{\circ}$。
**步骤二：根据已知条件列方程求解**
已知$\angle AOB$的补角等于它的余角的$10$倍，则可列方程：
$180 - x = 10×(90 - x)$
去括号得：$180 - x = 900 - 10x$
移项得：$10x - x = 900 - 180$
合并同类项得：$9x = 720$
系数化为$1$得：$x = 80$
所以$\angle AOB = 80^{\circ}$。
### $(2)$求$\angle AOD$的度数
设$\angle BOD = y$，
**步骤一：根据角平分线的性质和已知条件表示出相关角的度数**
因为$OD$平分$\angle BOC$，根据角平分线的定义（从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线），所以$\angle BOC = 2\angle BOD = 2y$。
又因为$\angle AOC = 3\angle BOD$，所以$\angle AOC = 3y$。
**步骤二：根据周角的定义列方程求解$y$的值**
根据周角的定义（一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角，周角等于$360^{\circ}$），可得$\angle AOB+\angle BOC+\angle AOC = 360^{\circ}$。
已知$\angle AOB = 80^{\circ}$，$\angle BOC = 2y$，$\angle AOC = 3y$，代入可得$80 + 2y + 3y = 360$。
合并同类项得：$80 + 5y = 360$
移项得：$5y = 360 - 80$
即$5y = 280$
系数化为$1$得：$y = 56$。
**步骤三：计算$\angle AOD$的度数**
$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD$，把$\angle AOB = 80^{\circ}$，$\angle BOD = 56^{\circ}$代入可得：
$\angle AOD = 80 + 56 = 136^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{80^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{136^{\circ}}$