《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. (8分)如图,在$Rt△ABC$中,$AC= BC,∠ACB= 90^{\circ }$,BF平分$∠ABC$交AC于点F,$AE⊥BF$于点E,AE,BC的延长线交于点M。
(1)求证:$△ABE\cong △MBE$;
(2)求证:$BF= 2AE$。

答案： 【解析】：
(1) 因为$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle MBE$。
又因为$AE\perp BF$，所以$\angle AEB = \angle MEB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle MBE$中，$\begin{cases}\angle ABE=\angle MBE\\BE = BE\\\angle AEB=\angle MEB\end{cases}$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle MBE$。
(2) 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle M + \angle CAM = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AEB = 90^{\circ}$，所以$\angle M + \angle CBF = 90^{\circ}$，则$\angle CAM=\angle CBF$。
在$\triangle BCF$和$\triangle ACM$中，$\begin{cases}\angle BCF=\angle ACM = 90^{\circ}\\BC = AC\\\angle CBF=\angle CAM\end{cases}$，根据$ASA$定理，可得$\triangle BCF\cong\triangle ACM$，所以$BF = AM$。
由
(1)知$\triangle ABE\cong\triangle MBE$，所以$AE = ME=\frac{1}{2}AM$，即$AM = 2AE$，所以$BF = 2AE$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。

19. (8分)已知等腰三角形的周长是14 cm。若其中一边长为4 cm,求另外两边长。

答案： 【解析】：本题可分情况讨论已知的边长$4cm$是等腰三角形的腰长还是底边长，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系来确定另外两边的长度。
**情况一：当$4cm$是等腰三角形的腰长时**
已知等腰三角形的腰长为$4cm$，根据等腰三角形两腰相等的性质，可知另一腰长也为$4cm$。
因为等腰三角形的周长是$14cm$，所以底边长为$14 - 4 - 4 = 6cm$。
此时需要判断这三条边能否构成三角形，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来验证：
$4 + 4 = 8\gt 6$，$6 - 4 = 2\lt 4$，满足三边关系，所以能构成三角形，这种情况下另外两边长分别为$4cm$和$6cm$。
**情况二：当$4cm$是等腰三角形的底边长时**
已知等腰三角形的底边长为$4cm$，设腰长为$x cm$，根据等腰三角形周长的定义可得$2x + 4 = 14$，解方程：
$2x = 14 - 4$，即$2x = 10$，解得$x = 5$。
同样需要判断这三条边能否构成三角形，验证三边关系：
$5 + 5 = 10\gt 4$，$5 - 4 = 1\lt 5$，满足三边关系，所以能构成三角形，这种情况下另外两边长均为$5cm$。
【答案】：另外两边长为$4cm$、$6cm$或$5cm$、$5cm$。