《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

20. (8分)如图,某居民小区为响应党的号召,开展全民健身活动,准备修建一个长为$(3a + 2b)$米,宽为$(2a + b)$米的长方形健身广场,广场内有一个边长为$2a$米的正方形活动场所,其余地方为绿化带。
(1)用含$a$,$b$的代数式表示绿化带的总面积;(结果写成最简形式)
(2)若$a = 10$,$b = 5$,求出绿化带的总面积。

答案： 【解析】：
(1) 首先计算长方形健身广场的面积为$(3a + 2b)(2a + b)$，根据多项式乘法法则展开：
$\begin{aligned}&(3a + 2b)(2a + b)\\=&3a×2a+3a× b+2b×2a+2b× b\\=&6a^{2}+3ab + 4ab+2b^{2}\\=&6a^{2}+7ab+2b^{2}\end{aligned}$
正方形活动场所的面积为$(2a)^{2}=4a^{2}$。
则绿化带的总面积为长方形面积减去正方形面积，即$(6a^{2}+7ab + 2b^{2})-4a^{2}=2a^{2}+7ab+2b^{2}$（平方米）。
(2) 当$a = 10$，$b = 5$时，代入$2a^{2}+7ab+2b^{2}$可得：
$\begin{aligned}&2×10^{2}+7×10×5+2×5^{2}\\=&2×100+7×50+2×25\\=&200 + 350+50\\=&600\end{aligned}$
【答案】：
(1) $2a^{2}+7ab + 2b^{2}$平方米；
(2) $600$平方米。

21. (8分)先化简,再求值:
(1)$(a^{2}b - ab^{2})÷b+(3 - a)(3 + a)$,其中$a = 1$,$b = 2$;
(2)$(x + y + 2)(x + y - 2)-(x + 2y)^{2}+3y^{2}$,其中$x = -\frac{1}{2}$,$y = \frac{1}{3}$。

答案： 【解析】：
(1)
首先化简$(a^{2}b - ab^{2})÷ b+(3 - a)(3 + a)$：
根据多项式除以单项式的法则$(m + n)÷ p=m÷ p + n÷ p$，对$(a^{2}b - ab^{2})÷ b$进行化简，可得$(a^{2}b - ab^{2})÷ b=a^{2}b÷ b - ab^{2}÷ b=a^{2}-ab$。
根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$，对$(3 - a)(3 + a)$进行化简，可得$(3 - a)(3 + a)=3^{2}-a^{2}=9 - a^{2}$。
则原式$=a^{2}-ab + 9 - a^{2}=9 - ab$。
然后把$a = 1$，$b = 2$代入化简后的式子：
当$a = 1$，$b = 2$时，$9 - ab=9-1×2=9 - 2 = 7$。
(2)
首先化简$(x + y + 2)(x + y - 2)-(x + 2y)^{2}+3y^{2}$：
把$(x + y)$看作一个整体，根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$，对$(x + y + 2)(x + y - 2)$进行化简，其中$m=x + y$，$n = 2$，则$(x + y + 2)(x + y - 2)=(x + y)^{2}-2^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-4$。
根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$，对$(x + 2y)^{2}$进行化简，可得$(x + 2y)^{2}=x^{2}+4xy + 4y^{2}$。
则原式$=x^{2}+2xy+y^{2}-4-(x^{2}+4xy + 4y^{2})+3y^{2}$。
去括号得$x^{2}+2xy+y^{2}-4 - x^{2}-4xy - 4y^{2}+3y^{2}$。
合并同类项：$(x^{2}-x^{2})+(2xy-4xy)+(y^{2}-4y^{2}+3y^{2})-4=-2xy - 4$。
然后把$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
当$x = -\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{3}$时，$-2xy - 4=-2×(-\frac{1}{2})×\frac{1}{3}-4=\frac{1}{3}-4=-\frac{11}{3}$。
【答案】：
(1)化简结果为$9 - ab$，值为$7$；
(2)化简结果为$-2xy - 4$，值为$-\frac{11}{3}$