《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

24. (10分)【阅读与思考】
下面是小明同学的数学学习笔记,仔细阅读并完成相应的任务:
对于依次排列的多项式$x + a$,$x + b$,$x + c$,$x + d$($a$,$b$,$c$,$d$是常数),当满足$(x + a)(x + d)-(x + b)(x + c)= M$,且$M$是常数时,则称$a$,$b$,$c$,$d$是一组平衡数,$M$是该组平衡数的平衡因子。
例:对于多项式$x + 2$,$x + 1$,$x + 6$,$x + 5$来说,
$\because(x + 2)(x + 5)-(x + 1)(x + 6)$
$=(x^{2}+7x + 10)-(x^{2}+7x + 6)$
$=4$,
$\therefore2$,$1$,$6$,$5$是一组平衡数,$4$是该组平衡数的平衡因子。
【任务一】
(1)已知$5$,$6$,$7$,$8$是一组平衡数,求该组平衡数的平衡因子$M$的值;
【任务二】
(2)若$2$,$4$,$m$,$9$是一组平衡数,求$m$的值;
【问题解决】
(3)当$a$,$b$,$c$,$d$之间满足怎样的数量关系时,它们是一组平衡数?写出它们之间的关系,并说明理由。

答案： 【解析】：
(1)根据平衡因子的定义，对于平衡数$5$，$6$，$7$，$8$，平衡因子$M=(x + 5)(x + 8)-(x + 6)(x + 7)$，先根据多项式乘法法则展开式子：
$(x + 5)(x + 8)=x^{2}+8x+5x + 40=x^{2}+13x + 40$；
$(x + 6)(x + 7)=x^{2}+7x+6x + 42=x^{2}+13x + 42$。
再计算$M=(x^{2}+13x + 40)-(x^{2}+13x + 42)=x^{2}+13x + 40 - x^{2}-13x - 42=-2$。
(2)因为$2$，$4$，$m$，$9$是一组平衡数，所以$(x + 2)(x + 9)-(x + 4)(x + m)$为常数。
先展开式子：
$(x + 2)(x + 9)=x^{2}+9x+2x + 18=x^{2}+11x + 18$；
$(x + 4)(x + m)=x^{2}+mx+4x + 4m=x^{2}+(m + 4)x + 4m$。
则$(x + 2)(x + 9)-(x + 4)(x + m)=(x^{2}+11x + 18)-[x^{2}+(m + 4)x + 4m]$
$=x^{2}+11x + 18 - x^{2}-(m + 4)x - 4m=(11-(m + 4))x+(18 - 4m)=(7 - m)x+(18 - 4m)$。
因为结果是常数，所以$x$的系数$7 - m = 0$，解得$m = 7$。
(3)若$a$，$b$，$c$，$d$是一组平衡数，则$(x + a)(x + d)-(x + b)(x + c)$为常数。
展开式子：
$(x + a)(x + d)=x^{2}+dx+ax + ad=x^{2}+(a + d)x + ad$；
$(x + b)(x + c)=x^{2}+cx+bx + bc=x^{2}+(b + c)x + bc$。
则$(x + a)(x + d)-(x + b)(x + c)=[x^{2}+(a + d)x + ad]-[x^{2}+(b + c)x + bc]$
$=x^{2}+(a + d)x + ad - x^{2}-(b + c)x - bc=(a + d - b - c)x+(ad - bc)$。
因为结果是常数，所以$x$的系数$a + d - b - c = 0$，即$a + d=b + c$。
【答案】：
(1)$-2$；
(2)$7$；
(3)$a + d=b + c$，理由：当$(x + a)(x + d)-(x + b)(x + c)$展开并化简为$(a + d - b - c)x+(ad - bc)$，要使其为常数，则$x$的系数$a + d - b - c = 0$，所以$a + d=b + c$。