《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

22. (12分)如图1所示,在四边形$ABCD$中,$∠ADC的平分线DE与∠BCD的平分线CA相交于点E$,已知$∠ACD = 32^{\circ}$,$∠CDE = 58^{\circ}$。


(1)$∠DEC$的度数是多少?
(2)试说明直线$AD// BC$;
(3)延长$DE交BC于点F$,连接$AF$,如图2.当$AC = 8$,$DF = 6$时,求四边形$ADCF$的面积。

答案： 【解析】：
(1)在$\triangle DEC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle ACD = 32^{\circ}$（即$\angle DCE = 32^{\circ}$），$\angle CDE = 58^{\circ}$，则$\angle DEC=180^{\circ}-\angle DCE - \angle CDE = 180^{\circ}-32^{\circ}-58^{\circ}=90^{\circ}$。
(2)因为$DE$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADC = 2\angle CDE = 2×58^{\circ}=116^{\circ}$。
因为$CA$平分$\angle BCD$，所以$\angle BCD = 2\angle ACD = 2×32^{\circ}=64^{\circ}$。
$\angle ADC+\angle BCD = 116^{\circ}+64^{\circ}=180^{\circ}$，同旁内角互补，两直线平行，所以$AD// BC$。
(3)因为$AD// BC$，所以$\triangle ADF$和$\triangle CDF$的高相等（设高为$h$）。
$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}DF\cdot h$，$S_{\triangle CDF}=\frac{1}{2}DF\cdot h$。
$S_{四边形ADCF}=S_{\triangle ADF}+S_{\triangle CDF}=\frac{1}{2}DF\cdot AC$（把$AC$看作两个三角形高的和）。
已知$AC = 8$，$DF = 6$，则$S_{四边形ADCF}=\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
【答案】：
(1)$90^{\circ}$
(2)见解析
(3)$24$