《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

15. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球。其中红球3个,白球5个,黑球若干个,若从中任意摸出一个白球的概率为$\frac {1}{3}$。
(1)求盒子中黑球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量,使得任意摸出一个球是红球的概率为$\frac {1}{4}$,若能,请写出如何调整白球数量;若不能,请说明理由。

答案： 【解析】：
(1)设盒子中黑球的个数为$x$个，已知红球$3$个，白球$5$个，那么球的总数为$(3 + 5 + x)$个。
因为从中任意摸出一个白球的概率为$\frac{1}{3}$，根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$发生的总数，$n$是总事件发生的总数），可得$\frac{5}{3 + 5 + x}=\frac{1}{3}$。
即$3×5=3 + 5 + x$，
$15=8 + x$，
解得$x = 7$，所以盒子中黑球的个数为$7$个。
(2)由
(1)可知球的总数为$3+5 + 7=15$个，黑球有$7$个，根据概率公式可得任意摸出一个球是黑球的概率$P=\frac{7}{15}$。
(3)设调整后白球的数量为$y$个，要使任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$，此时球的总数为$(3 + y+7)$个。
根据概率公式可得$\frac{3}{3 + y + 7}=\frac{1}{4}$，
即$4×3=3 + y + 7$，
$12=y + 10$，
解得$y = 2$。
原来白球有$5$个，所以需要减少白球的数量，减少的数量为$5 - 2=3$个。
【答案】：
(1)$7$个；
(2)$\frac{7}{15}$；
(3)能，减少$3$个白球。

16. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球,其中红球4个,黑球6个。
(1)先从袋子中取出$m(m＞1)$个红球,再从袋子中随机摸出1个球,若“摸出的球是黑球”为必然事件,求m的值；
(2)先从袋子中取出m个红球,再放入m个一样的黑球并摇匀,随机摸出1个黑球的概率为$\frac {4}{5}$,求m的值。

答案： 【解析】：
(1)必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。“摸出的球是黑球”为必然事件，说明袋子中只剩下黑球，没有红球。
已知袋子中原有红球$4$个，取出$m(m\gt1)$个红球后没有红球了，所以$m = 4$。
(2)先从袋子中取出$m$个红球，此时袋子中球的总数为$10 - m$个，红球有$4 - m$个，黑球有$6$个；再放入$m$个黑球后，袋子中球的总数仍为$10$个，黑球有$(6 + m)$个。
根据概率公式$P(A)=\frac{事件A发生的总数}{总事件发生的总数}$，随机摸出$1$个黑球的概率为$\frac{4}{5}$，可列方程：
$\frac{6 + m}{10}=\frac{4}{5}$
方程两边同时乘以$10$得：$6 + m = 8$
移项可得：$m = 8 - 6 = 2$。
【答案】：
(1)$4$；
(2)$2$