《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. 化简:
(1)$(x + y)(x - 3y)+(2x^{2}y + 6xy^{2})÷2x$;
(2)$[2a^{2}\cdot 8a^{2}+(2a)^{3}-4a^{2}]÷2a^{2}$。

答案： 【解析】：
(1)
首先，根据多项式乘多项式法则计算$(x + y)(x - 3y)$：
根据$(a+b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，则$(x + y)(x - 3y)=x^{2}-3xy+xy - 3y^{2}=x^{2}-2xy - 3y^{2}$。
然后，根据多项式除以单项式法则计算$(2x^{2}y + 6xy^{2})÷2x$：
$(2x^{2}y + 6xy^{2})÷2x=2x^{2}y÷2x+6xy^{2}÷2x=xy + 3y^{2}$。
最后，将两部分结果相加：
$(x + y)(x - 3y)+(2x^{2}y + 6xy^{2})÷2x=x^{2}-2xy - 3y^{2}+xy + 3y^{2}=x^{2}-xy$。
(2)
先计算中括号内的各项：
计算$2a^{2}\cdot8a^{2}$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2a^{2}\cdot8a^{2}=(2×8)a^{2 + 2}=16a^{4}$。
计算$(2a)^{3}$，根据积的乘方$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(2a)^{3}=2^{3}a^{3}=8a^{3}$。
则中括号内为$16a^{4}+8a^{3}-4a^{2}$。
再根据多项式除以单项式法则计算$[16a^{4}+8a^{3}-4a^{2}]÷2a^{2}$：
$[16a^{4}+8a^{3}-4a^{2}]÷2a^{2}=16a^{4}÷2a^{2}+8a^{3}÷2a^{2}-4a^{2}÷2a^{2}=8a^{2}+4a - 2$。
【答案】：
(1)$x^{2}-xy$；
(2)$8a^{2}+4a - 2$

17. 先化简,再求值:
(1)$(3xy^{3}-6x^{3}y)÷3xy-(x + y)(x - y)$,其中$x = 2,y = -2$;
(2)$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]÷(-\frac{1}{2}b)$,其中$a,b满足|a - 1|+(b + 2)^{2}= 0$。

答案： 【解析】：
(1)
首先化简$(3xy^{3}-6x^{3}y)÷3xy-(x + y)(x - y)$：
根据多项式除以单项式的法则$(3xy^{3}-6x^{3}y)÷3xy = 3xy^{3}÷3xy-6x^{3}y÷3xy=y^{2}-2x^{2}$。
根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$。
则原式$=y^{2}-2x^{2}-(x^{2}-y^{2})$
去括号得$y^{2}-2x^{2}-x^{2}+y^{2}$。
合并同类项得$2y^{2}-3x^{2}$。
然后把$x = 2$，$y=-2$代入化简后的式子：
当$x = 2$，$y = -2$时，$2y^{2}-3x^{2}=2×(-2)^{2}-3×2^{2}$
先计算乘方：$2×4 - 3×4$
再计算乘法：$8 - 12=-4$。
(2)
首先化简$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]÷(-\frac{1}{2}b)$：
根据完全平方公式$(2a + b)^{2}=4a^{2}+4ab + b^{2}$，根据平方差公式$(2a + b)(2a - b)=4a^{2}-b^{2}$。
则$(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)=4a^{2}+4ab + b^{2}-(4a^{2}-b^{2})$
去括号得$4a^{2}+4ab + b^{2}-4a^{2}+b^{2}=4ab + 2b^{2}$。
所以$[(2a + b)^{2}-(2a + b)(2a - b)]÷(-\frac{1}{2}b)=(4ab + 2b^{2})÷(-\frac{1}{2}b)$。
根据多项式除以单项式法则$(4ab + 2b^{2})÷(-\frac{1}{2}b)=4ab÷(-\frac{1}{2}b)+2b^{2}÷(-\frac{1}{2}b)=-8a-4b$。
然后根据$\vert a - 1\vert+(b + 2)^{2}=0$求$a$，$b$的值：
因为绝对值一定是非负的，一个数的平方也是非负的，要使两个非负的数相加等于$0$，则这两个数都为$0$。
即$\begin{cases}a - 1 = 0\\b + 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b=-2\end{cases}$。
最后把$a = 1$，$b=-2$代入化简后的式子：
当$a = 1$，$b=-2$时，$-8a-4b=-8×1-4×(-2)$
先计算乘法：$-8 + 8 = 0$。
【答案】：
(1)$-4$；
(2)$0$