《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

20. (10分)如图,直线$AB,CD交于点O$,射线$OE平分∠AOD$,$∠BOD = 44^{\circ}$。
(1)求$∠COE$的度数;
(2)若射线$OF⊥AB于点O$,请补全图形,并求$∠EOF$的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle COE$的度数
因为$\angle BOD$与$\angle AOC$是对顶角，根据对顶角相等，所以$\angle AOC=\angle BOD = 44^{\circ}$。
又因为$\angle AOD$与$\angle BOD$互为邻补角，即$\angle AOD+\angle BOD = 180^{\circ}$，已知$\angle BOD = 44^{\circ}$，则$\angle AOD=180^{\circ}-\angle BOD=180^{\circ} - 44^{\circ}=136^{\circ}$。
由于射线$OE$平分$\angle AOD$，根据角平分线的定义，$\angle AOE=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{1}{2}×136^{\circ}=68^{\circ}$。
最后根据$\angle COE=\angle AOC+\angle AOE$，可得$\angle COE=44^{\circ}+68^{\circ}=112^{\circ}$。
### $(2)$求$\angle EOF$的度数
**情况一：当$OF$在$\angle BOD$一侧时**
因为$OF\perp AB$，所以$\angle AOF = 90^{\circ}$。
由$(1)$知$\angle AOE = 68^{\circ}$，根据$\angle EOF=\angle AOF-\angle AOE$，可得$\angle EOF=90^{\circ}-68^{\circ}=22^{\circ}$。
**情况二：当$OF$在$\angle BOC$一侧时**
因为$OF\perp AB$，所以$\angle AOF = 90^{\circ}$。
由$(1)$知$\angle AOE = 68^{\circ}$，根据$\angle EOF=\angle AOF+\angle AOE$，可得$\angle EOF=90^{\circ}+68^{\circ}=158^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{112^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{22^{\circ}}$或$\boldsymbol{158^{\circ}}$

21. (10分)已知:如图,$EF// CD$,$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$。
(1)判断$DG与AC$的位置关系,并说明理由;
(2)若$CD平分∠ACB$,$DG平分∠CDB$,且$∠A = 40^{\circ}$,求$∠ACB$的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 判断$DG$与$AC$的位置关系
- 因为$EF// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$\angle1+\angle ACD = 180^{\circ}$。
- 又已知$\angle1+\angle2 = 180^{\circ}$，根据“同角的补角相等”，所以$\angle ACD=\angle2$。
- 再根据“内错角相等，两直线平行”，由$\angle ACD=\angle2$，可以得出$DG// AC$。
### $(2)$ 求$\angle ACB$的度数
因为$DG// AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$\angle GDB=\angle A = 40^{\circ}$。
因为$DG$平分$\angle CDB$，所以$\angle2=\angle GDB = 40^{\circ}$，那么$\angle CDB=\angle2+\angle GDB=80^{\circ}$。
由于$DG// AC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$\angle ACD+\angle CDB = 180^{\circ}$，所以$\angle ACD=180^{\circ}-\angle CDB = 100^{\circ}$。
又因为$CD$平分$\angle ACB$，根据角平分线的定义，$\angle ACB = 2\angle ACD$，所以$\angle ACB = 80^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{DG// AC}$，理由见上述解析；$(2)$$\boldsymbol{80^{\circ}}$