《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

14. 如图,某城市公园里有三个景点A,B,C,直线$l_{1},l_{3}$表示直路,而$l_{2}$表示弯路。想在S区里修建一座公厕P,使它到两条路$l_{1}和l_{3}$的距离相等,且到两个景点B和C的距离也相等。求点P位置,并说明理由。

答案： 【解析】：
1. 首先，根据角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等。因为点$P$到两条路$l_{1}$和$l_{3}$的距离相等，所以点$P$应在$\angle l_{1}Ol_{3}$（$O$为$l_{1}$与$l_{3}$的交点）的平分线上。
2. 然后，根据线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。因为点$P$到两个景点$B$和$C$的距离相等，所以点$P$应在线段$BC$的垂直平分线上。
综上，点$P$是$\angle l_{1}Ol_{3}$的平分线与线段$BC$垂直平分线的交点。
【答案】：点$P$是$\angle l_{1}Ol_{3}$（$O$为$l_{1}$与$l_{3}$的交点）的平分线与线段$BC$垂直平分线的交点。理由：角平分线上的点到角两边距离相等，所以$P$在$\angle l_{1}Ol_{3}$平分线上满足到$l_{1}$，$l_{3}$距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，所以$P$在线段$BC$垂直平分线上满足到$B$，$C$距离相等。

15. 如图,在$△ABC$中,$∠B= 50^{\circ },∠C= 70^{\circ }$,AD是$△ABC$的角平分线,$DE⊥AB$于点E。
(1)求$∠EDA$的度数;

(2)若$AB= 10,AC= 8,DE= 3$,求$S_{△ABC}$。

答案： 【解析】：
(1) 首先根据三角形内角和定理求出$\angle BAC$的度数，再利用角平分线的性质求出$\angle BAD$的度数，最后在$Rt\triangle ADE$中根据直角三角形两锐角互余求出$\angle EDA$的度数。
因为在$\triangle ABC$中，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 70^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$。
由于$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
又因为$DE\perp AB$，即$\angle DEA = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ADE$中，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle EDA=90^{\circ}-\angle BAD=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
(2) 过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$，根据角平分线的性质得到$DF = DE$，然后利用三角形面积公式分别求出$S_{\triangle ABD}$和$S_{\triangle ACD}$，进而求出$S_{\triangle ABC}$。
过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$。
因为$AD$是角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DF = DE = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}×10×3 = 15$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}×8×3 = 12$。
那么$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=15 + 12=27$。
【答案】：
(1) $\boldsymbol{60^{\circ}}$
(2) $\boldsymbol{27}$