《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

22. (8分)(1)已知$4^{m}= a$,$8^{n}= b$,用含$a$,$b$的式子表示下列代数式:
①求$2^{2m + 3n}$的值;
②求$2^{4m - 6n}$的值。
(2)已知$2×8^{x}×16= 2^{23}$,求$x$的值。

答案： 【解析】：
1. 对于（1）①：
首先，根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，对已知条件进行变形。
因为$4^{m}=(2^{2})^{m}=2^{2m}=a$，$8^{n}=(2^{3})^{n}=2^{3n}=b$。
然后，根据同底数幂相乘公式$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$，求$2^{2m + 3n}$的值。
$2^{2m + 3n}=2^{2m}\cdot2^{3n}$，把$2^{2m}=a$，$2^{3n}=b$代入可得$2^{2m + 3n}=ab$。
2. 对于（1）②：
同样根据幂的乘方公式，$2^{4m}=(2^{2m})^{2}$，$2^{6n}=(2^{3n})^{2}$。
因为$2^{2m}=a$，$2^{3n}=b$，所以$2^{4m}=(2^{2m})^{2}=a^{2}$，$2^{6n}=(2^{3n})^{2}=b^{2}$。
再根据同底数幂相除公式$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0)$，求$2^{4m - 6n}$的值。
$2^{4m - 6n}=2^{4m}÷2^{6n}$，把$2^{4m}=a^{2}$，$2^{6n}=b^{2}$代入可得$2^{4m - 6n}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$。
3. 对于（2）：
先将$8^{x}$和$16$都转化为以$2$为底的幂。
因为$8^{x}=(2^{3})^{x}=2^{3x}$，$16 = 2^{4}$。
则原方程$2×8^{x}×16 = 2^{23}$可化为$2×2^{3x}×2^{4}=2^{23}$。
根据同底数幂相乘公式$a^{m}\cdot a^{n}\cdot a^{p}=a^{m + n + p}$，可得$2^{1 + 3x+4}=2^{23}$，即$2^{3x + 5}=2^{23}$。
因为当$a^{m}=a^{n}$（$a\gt0$且$a\neq1$）时，$m = n$，所以$3x+5 = 23$。
解方程$3x+5 = 23$，移项得$3x=23 - 5$，即$3x = 18$，解得$x = 6$。
【答案】：（1）①$ab$；②$\frac{a^{2}}{b^{2}}$；（2）$6$

23. (10分)如图1,在一个长为$2a$,宽为$2b$的长方形图中,沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形,然后按图2的方式拼成一个正方形。
(1)图2中阴影部分的正方形边长为____;
(2)请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积,并用等式表示;
(3)如图3,点$C是线段AB$上的一点,以$AC$,$BC$为边向两边作正方形,面积分别是$S_{1}和S_{2}$,设$AB = 8$,两正方形的面积和$S_{1}+S_{2}= 28$,求图中阴影部分的面积。

答案： 【解析】：
### $(1)$求图$2$中阴影部分正方形的边长
观察图$2$，小长方形的长为$a$，宽为$b$，阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽，即$a - b$。
### $(2)$用两种不同方法表示图$2$中阴影部分的面积并建立等式
**方法一：利用正方形面积公式**
根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，由$(1)$知阴影部分正方形边长为$a - b$，所以阴影部分面积$S=(a - b)^{2}$。
**方法二：用大正方形面积减去$4$个小长方形面积**
大正方形边长为$a + b$，根据正方形面积公式可得大正方形面积为$(a + b)^{2}$；
小长方形长为$a$，宽为$b$，则一个小长方形面积为$ab$，$4$个小长方形面积为$4ab$。
所以阴影部分面积$S=(a + b)^{2}-4ab$。
因此，等式为$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$。
### $(3)$求图$3$中阴影部分的面积
设$AC = m$，$BC = n$。
已知$AB=8$，即$m + n = 8$；两正方形面积和$S_{1}+S_{2}=28$，由正方形面积公式可知$m^{2}+n^{2}=28$。
根据$(2)$中$(m - n)^{2}=(m + n)^{2}-4mn$，先求$mn$的值：
由$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$，可得$mn=\frac{(m + n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{2}$。
把$m + n = 8$，$m^{2}+n^{2}=28$代入上式得：
$mn=\frac{8^{2}-28}{2}=\frac{64 - 28}{2}=\frac{36}{2}=18$。
图$3$中阴影部分是直角三角形，其面积$S=\frac{1}{2}mn$，把$mn = 18$代入可得$S=\frac{1}{2}×18 = 9$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{a - b}$；
$(2)$阴影部分面积为$(a - b)^{2}$和$(a + b)^{2}-4ab$，等式$\boldsymbol{(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab}$；
$(3)$$\boldsymbol{9}$。