《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. 已知:$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC,AD⊥CM,BE⊥CM$,垂足分别为 D,E。
(1)如图 1,线段 CD 和 BE 的数量关系是 _ ;
(2)如图 1,请写出线段 AD,BE,DE 之间的数量关系并证明;
(3)如图 2,上述结论(2)还成立吗? 如果不成立,请直接写出线段 AD,BE,DE之间的数量关系。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AD\perp CM$，$BE\perp CM$，所以$\angle ACD+\angle BCE = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，则$\angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{array}\right.$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ACD\cong\triangle CBE$，所以$CD = BE$。
(2) 由$\triangle ACD\cong\triangle CBE$可得$AD = CE$，$CD = BE$。
因为$CE=CD + DE$，所以$AD=BE + DE$。
(3) 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AD\perp CM$，$BE\perp CM$，所以$\angle ACD+\angle BCE = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle CAD = 90^{\circ}$，则$\angle CAD=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{array}\right.$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ACD\cong\triangle CBE$，所以$AD = CE$，$CD = BE$。
因为$CD=CE + DE$，所以$BE=AD + DE$，结论
(2)不成立。
【答案】：
(1)$CD = BE$
(2)$AD=BE + DE$，证明见上述解析
(3)不成立，$BE=AD + DE$