《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. 阅读下列材料:
若$a^{3}= 2,b^{5}= 3$,则 a,b 的大小关系是 a ＞ (填“＜”或“＞”)b。
解:因为$a^{15}= (a^{3})^{5}= 2^{5}= 32,b^{15}= (b^{5})^{3}= 3^{3}= 27,32＞27$,
所以$a^{15}＞b^{15}$,所以$a＞b$。
解答下列问题:
(1)上述求解过程中,逆用了哪一条幂的运算性质 ()
A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
(2)已知$x^{7}= 2,y^{9}= 3$,试比较 x 与 y 的大小。

答案： 【解析】：
1. 对于第（1）题：
分析求解过程$a^{15}=(a^{3})^{5}$和$b^{15}=(b^{5})^{3}$，根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数），这里是将指数进行了变形，把$a^{3}$的指数$3$乘以$5$得到$a^{15}$，把$b^{5}$的指数$5$乘以$3$得到$b^{15}$，所以逆用了幂的乘方这一运算性质。
同底数幂的乘法法则是$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$（$m$，$n$是正整数）；同底数幂的除法法则是$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是正整数，且$m\gt n)$；积的乘方法则是$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$（$n$是正整数），均不符合该求解过程的运算形式。所以选C。
2. 对于第（2）题：
为了比较$x$与$y$的大小，我们可以通过幂的乘方，将$x$和$y$的指数化为相同。
因为$63$是$7$和$9$的最小公倍数，所以计算$x^{63}=(x^{7})^{9}$，已知$x^{7}=2$，则$x^{63}=(x^{7})^{9}=2^{9}=512$；
计算$y^{63}=(y^{9})^{7}$，已知$y^{9}=3$，则$y^{63}=(y^{9})^{7}=3^{7}=2187$。
因为$512\lt2187$，即$x^{63}\lt y^{63}$，所以$x\lt y$。
【答案】：（1）C；（2）$x\lt y$

19. 计算:
(1)$(-2ab^{3}c^{2})^{4}$;
(2)$(2x^{2})^{3}+(-3x^{3})^{2}-x^{2}\cdot x^{4}$。

答案： 【解析】：
(1)根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$以及幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$来计算$(-2ab^{3}c^{2})^{4}$：
$\begin{aligned}(-2ab^{3}c^{2})^{4}&=(-2)^4× a^4×(b^{3})^{4}×(c^{2})^{4}\\& = 16a^4b^{12}c^{8}\end{aligned}$
(2)先分别根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$计算$(2x^{2})^{3}$与$(-3x^{3})^{2}$，再根据同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$计算$x^{2}\cdot x^{4}$，最后进行加减运算：
计算$(2x^{2})^{3}$：$(2x^{2})^{3}=2^3×(x^{2})^{3}=8x^{6}$；
计算$(-3x^{3})^{2}$：$(-3x^{3})^{2}=(-3)^2×(x^{3})^{2}=9x^{6}$；
计算$x^{2}\cdot x^{4}$：$x^{2}\cdot x^{4}=x^{2 + 4}=x^{6}$；
则$(2x^{2})^{3}+(-3x^{3})^{2}-x^{2}\cdot x^{4}=8x^{6}+9x^{6}-x^{6}=(8 + 9-1)x^{6}=16x^{6}$。
【答案】：
(1)$16a^4b^{12}c^{8}$；
(2)$16x^{6}$