《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. (8分)计算:
(1)$|-2|+(π - 3)^{0}+(\frac{1}{3})^{-2}-(-1)^{2024}$;
(2)$a\cdot a^{7}-(-3a^{4})^{2}+a^{10}÷a^{2}$;
(3)$[x(y^{2}-xy)-y(x^{2}+xy)]÷2x^{2}$;
(4)$(a + b + c)(a - b + c)$。

答案： 【解析】：
(1)
首先，根据绝对值的性质，正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得$\vert -2\vert=2$。
其次，根据零指数幂的定义，任何非零数的$0$次幂都等于$1$，所以$(\pi - 3)^{0}=1$。
然后，根据负整数指数幂的定义，$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$（$a\neq0$，$p$为正整数），则$(\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^{2}} = 9$。
最后，根据乘方的意义，$(-1)^{2024}=1$。
将以上结果代入原式可得：$\vert -2\vert+(\pi - 3)^{0}+(\frac{1}{3})^{-2}-(-1)^{2024}=2 + 1+9 - 1=11$。
(2)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a\cdot a^{7}=a^{1 + 7}=a^{8}$。
根据积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(-3a^{4})^{2}=(-3)^{2}×(a^{4})^{2}=9a^{8}$。
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{10}÷ a^{2}=a^{10 - 2}=a^{8}$。
将以上结果代入原式可得：$a\cdot a^{7}-(-3a^{4})^{2}+a^{10}÷ a^{2}=a^{8}-9a^{8}+a^{8}=-7a^{8}$。
(3)
先去小括号：$x(y^{2}-xy)=xy^{2}-x^{2}y$，$y(x^{2}+xy)=x^{2}y+xy^{2}$。
则原式$[x(y^{2}-xy)-y(x^{2}+xy)]÷2x^{2}=[xy^{2}-x^{2}y-(x^{2}y + xy^{2})]÷2x^{2}$。
再去中括号：$[xy^{2}-x^{2}y-(x^{2}y + xy^{2})]=xy^{2}-x^{2}y - x^{2}y-xy^{2}=-2x^{2}y$。
最后进行除法运算：$-2x^{2}y÷2x^{2}=-y$。
(4)
将$(a + b + c)(a - b + c)$变形为$[(a + c)+b][(a + c)-b]$。
根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = a + c$，$n = b$，则$[(a + c)+b][(a + c)-b]=(a + c)^{2}-b^{2}$。
再根据完全平方公式$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$，这里$m = a$，$n = c$，可得$(a + c)^{2}-b^{2}=a^{2}+2ac + c^{2}-b^{2}$。
【答案】：
(1)$11$；
(2)$-7a^{8}$；
(3)$-y$；
(4)$a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac$

19. (8分)小马虎同学在计算一个多项式$A乘(1 - 2x)$时,因抄错运算符号,算成了加上$(1 - 2x)$,得到的结果是$x^{2}-x + 1$。
(1)这个多项式$A$是多少?
(2)正确的计算结果是多少?

答案： 【解析】：
(1)已知多项式$A$加上$(1 - 2x)$的结果是$x^{2}-x + 1$，根据加数与和的关系，用和减去其中一个加数就可得到另一个加数，所以多项式$A=(x^{2}-x + 1)-(1 - 2x)$，去括号得$x^{2}-x + 1 - 1+2x$，合并同类项可得$A=x^{2}+x$。
(2)由
(1)已求得多项式$A=x^{2}+x$，那么正确的计算是$A$乘$(1 - 2x)$，即$(x^{2}+x)(1 - 2x)$，根据多项式乘多项式的法则，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$x^{2}×1+x^{2}×(-2x)+x×1+x×(-2x)=x^{2}-2x^{3}+x - 2x^{2}=-2x^{3}-x^{2}+x$。
【答案】：
(1)$x^{2}+x$；
(2)$-2x^{3}-x^{2}+x$