《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

15. 如图,已知$AD⊥BC$于点D,$\triangle ABD\cong \triangle CFD$。
(1)若$BC= 10,AD= 7$,求BD的长;
(2)求证:$CE⊥AB$。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$BD$的长
- 因为$\triangle ABD\cong\triangle CFD$，根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以$AD = CD$，$BD = FD$。
- 已知$AD = 7$，所以$CD = 7$。
- 又因为$BC = 10$，且$BC=BD + CD$，所以$BD=BC - CD$，将$BC = 10$，$CD = 7$代入可得$BD=10 - 7=3$。
### $(2)$证明$CE\perp AB$
- 因为$\triangle ABD\cong\triangle CFD$，所以$\angle BAD=\angle FCD$。
- 因为$AD\perp BC$，所以$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
- 在$\triangle ABD$中，$\angle B+\angle BAD = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余）。
- 由于$\angle BAD=\angle FCD$，等量代换可得$\angle B+\angle FCD = 90^{\circ}$。
- 在$\triangle BEC$中，$\angle BEC=180^{\circ}-(\angle B+\angle FCD)$（三角形内角和为$180^{\circ}$），把$\angle B+\angle FCD = 90^{\circ}$代入可得$\angle BEC = 90^{\circ}$。
- 根据垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，所以$CE\perp AB$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{BD = 3}$；$(2)$证明过程如上述解析，证得$\boldsymbol{CE\perp AB}$。

16. 如图,点B,C,E,F在同一直线上,$AB= DF,AC= DE,BE= CF$。求证:$AB// DF$。

答案： 【解析】：
- 因为$BE = CF$，所以$BE - CE = CF - CE$，即$BC = FE$。
- 在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，$\begin{cases}AB = DF\\AC = DE\\BC = FE\end{cases}$，根据“边边边”（$SSS$）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DFE$。
- 由全等三角形的性质可知，$\angle B=\angle F$。
- 因为$\angle B$和$\angle F$是直线$AB$、$DF$被直线$BF$所截得的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，所以$AB// DF$。
【答案】：
$\because BE = CF$，$\therefore BE - CE = CF - CE$，即$BC = FE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DFE$中，$\begin{cases}AB = DF\\AC = DE\\BC = FE\end{cases}$，$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DFE(SSS)$。
$\therefore\angle B=\angle F$，$\therefore AB// DF$。

17. 如图,$AB= CD,BF= DE$,E,F是AC上两点,且$AE= CF$。
(1)试说明$\triangle ABF\cong \triangle CDE$;
(2)请你判断BF与DE的位置关系,并说明理由。

答案： 【解析】：
(1) 因为$AE = CF$，所以$AE + EF = CF + EF$，即$AF = CE$。
在$\triangle ABF$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\BF = DE\\AF = CE\end{array}\right.$，根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABF\cong\triangle CDE$。
(2) 由
(1)知$\triangle ABF\cong\triangle CDE$，所以$\angle AFB=\angle CED$。
因为$\angle AFB + \angle BFE = 180^{\circ}$，$\angle CED + \angle DEF = 180^{\circ}$，所以$\angle BFE=\angle DEF$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$BF// DE$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2) $BF// DE$，理由见上述解析。