《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

11. 如图,在四边形 ABCD 中,若去掉一个$60^{\circ }$的角,得到一个五边形,则$∠1+$
$∠2= $ _ 。

答案： $240^{\circ}$

12. 如图,已知点 P 是射线 ON 上一动点(即 P 可在射线 ON 上运动),$∠AON= $$30^{\circ }$,当$∠A= $ _ 时,$△AOP$为直角三角形。

答案： $60^{\circ}$或$90^{\circ}$

13. 已知 a,b,c 是三角形的三边长,化简:$|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|= $
_ 。

答案： $a + b + c$

14. 如图,在$△ABC$中,$AD⊥BC$,AE 平分$∠BAC$。若$∠1= 30^{\circ },∠2= 20^{\circ }$,则
$∠B= $ _ 。

答案： $40^{\circ}$

15. 如图,$∠B= 42^{\circ },∠1= ∠2+10^{\circ },∠ACD= 64^{\circ },∠ACD$的平分线与 BA 的延长线相交于点 E。
(1)请你判断 BE 与 CD 的位置关系,并说明理由;
(2)求$∠3$的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 判断$BE$与$CD$的位置关系
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle1+\angle2 = 180^{\circ}$，已知$\angle B = 42^{\circ}$，$\angle1=\angle2 + 10^{\circ}$。
将$\angle1=\angle2 + 10^{\circ}$和$\angle B = 42^{\circ}$代入$\angle B+\angle1+\angle2 = 180^{\circ}$中，可得：
$42^{\circ}+(\angle2 + 10^{\circ})+\angle2=180^{\circ}$
$42^{\circ}+\angle2 + 10^{\circ}+\angle2=180^{\circ}$
$2\angle2=180^{\circ}-42^{\circ}-10^{\circ}$
$2\angle2 = 128^{\circ}$
解得$\angle2 = 64^{\circ}$。
又因为$\angle ACD = 64^{\circ}$，所以$\angle2=\angle ACD$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$BE// CD$。
### $(2)$ 求$\angle3$的度数
因为$CE$平分$\angle ACD$，$\angle ACD = 64^{\circ}$，所以$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle ACD=\frac{1}{2}×64^{\circ}=32^{\circ}$。
由$(1)$知$BE// CD$，根据两直线平行，同位角相等。
$\angle3$与$\angle DCE$的邻补角之和为$180^{\circ}$（平角定义），$\angle3$等于$\angle DCE$的邻补角，所以$\angle3 = 180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{BE// CD}$，理由：在$\triangle ABC$中，由$\angle B = 42^{\circ}$，$\angle1=\angle2 + 10^{\circ}$，根据三角形内角和定理求得$\angle2 = 64^{\circ}$，又$\angle ACD = 64^{\circ}$，所以$\angle2=\angle ACD$，内错角相等，两直线平行，故$BE// CD$。
$(2)$$\boldsymbol{148^{\circ}}$