《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. 如图,已知$AM// BN$,$∠A= 64^{\circ }$。点$P是射线AM$上一动点(与点$A$不重合),$BC$,$BD分别平分∠ABP和∠PBN$,分别交射线$AM于点C$,$D$。
(1)①$∠ABN$的度数为____;
②因为$AM// BN$,所以$∠ACB= ∠$____;
③$∠CBD$的度数为____。
(2)当点$P$运动时,$∠APB与∠ADB$之间的数量关系是否随之发生变化? 若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律。
(3)当点$P运动到使∠ACB= ∠ABD$时,$∠ABC$的度数是多少?

答案： 【解析】：
### $(1)$
①因为$AM// BN$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle A+\angle ABN = 180^{\circ}$。
已知$\angle A=64^{\circ}$，所以$\angle ABN = 180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}$。
②因为$AM// BN$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ACB=\angle CBN$。
③因为$BC$平分$\angle ABP$，$BD$平分$\angle PBN$，所以$\angle CBP=\frac{1}{2}\angle ABP$，$\angle DBP=\frac{1}{2}\angle PBN$。
则$\angle CBD=\angle CBP + \angle DBP=\frac{1}{2}(\angle ABP+\angle PBN)=\frac{1}{2}\angle ABN$。
由①知$\angle ABN = 116^{\circ}$，所以$\angle CBD=\frac{1}{2}×116^{\circ}=58^{\circ}$。
### $(2)$
$\angle APB$与$\angle ADB$之间的数量关系不变化，$\angle APB = 2\angle ADB$。
理由：因为$AM// BN$，所以$\angle APB=\angle PBN$，$\angle ADB=\angle DBN$。
又因为$BD$平分$\angle PBN$，所以$\angle PBN = 2\angle DBN$，即$\angle APB = 2\angle ADB$。
### $(3)$
因为$AM// BN$，所以$\angle ACB=\angle CBN$。
当$\angle ACB=\angle ABD$时，$\angle CBN=\angle ABD$。
所以$\angle ABC+\angle CBD=\angle CBD+\angle DBN$，即$\angle ABC=\angle DBN$。
设$\angle ABC = x$，则$\angle DBN = x$。
因为$BC$平分$\angle ABP$，$BD$平分$\angle PBN$，所以$\angle ABP = 2x$，$\angle PBN = 2x$。
由$\angle ABP+\angle PBN=\angle ABN = 116^{\circ}$，可得$2x + 2x=116^{\circ}$，$4x=116^{\circ}$，解得$x = 29^{\circ}$。
即$\angle ABC = 29^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$①$\boldsymbol{116^{\circ}}$；②$\boldsymbol{CBN}$；③$\boldsymbol{58^{\circ}}$
$(2)$$\boldsymbol{\angle APB = 2\angle ADB}$
$(3)$$\boldsymbol{29^{\circ}}$