《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

15. 计算:
(1)$(-4x-3y^{2})(3y^{2}-4x)$;
(2)$(y+2x)(2x-y)-x(y+4x)$;
(3)$500^{2}-499×501$。

答案： 【解析】：
(1)
本题可利用平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$来计算$(-4x - 3y^{2})(3y^{2}-4x)$。
将$(-4x - 3y^{2})(3y^{2}-4x)$变形为$(-4x - 3y^{2})(-4x+3y^{2})$，此时$a = -4x$，$b = 3y^{2}$，根据平方差公式可得：
$(-4x - 3y^{2})(-4x+3y^{2})=(-4x)^{2}-(3y^{2})^{2}=16x^{2}-9y^{4}$。
(2)
本题可先分别利用平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$和单项式乘多项式法则计算$(y + 2x)(2x - y)-x(y + 4x)$。
计算$(y + 2x)(2x - y)$：
将$(y + 2x)(2x - y)$变形为$(2x + y)(2x - y)$，此时$a = 2x$，$b = y$，根据平方差公式可得$(2x + y)(2x - y)=(2x)^{2}-y^{2}=4x^{2}-y^{2}$。
计算$x(y + 4x)$：
根据单项式乘多项式法则，用单项式$x$去乘多项式$y + 4x$的每一项，可得$x(y + 4x)=xy + 4x^{2}$。
计算$(y + 2x)(2x - y)-x(y + 4x)$：
将上述结果代入原式可得：
$(y + 2x)(2x - y)-x(y + 4x)=4x^{2}-y^{2}-(xy + 4x^{2})=4x^{2}-y^{2}-xy - 4x^{2}=-y^{2}-xy$。
(3)
本题可先将$499×501$变形为$(500 - 1)(500 + 1)$，然后利用平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$进行计算，最后再计算$500^{2}-499×501$。
计算$499×501$：
将$499×501$变形为$(500 - 1)(500 + 1)$，此时$a = 500$，$b = 1$，根据平方差公式可得$(500 - 1)(500 + 1)=500^{2}-1^{2}=250000 - 1 = 249999$。
计算$500^{2}-499×501$：
将$499×501 = 249999$代入原式可得：
$500^{2}-499×501=250000 - 249999 = 1$。
【答案】：
(1)$16x^{2}-9y^{4}$；
(2)$-y^{2}-xy$；
(3)$1$

16. 小红在计算$a(1+a)-(a-1)^{2}$时,解答过程如下:
$a(1+a)-(a-1)^{2}$
$=a+a^{2}-(a^{2}-1)... ... $第一步
$=a+a^{2}-a^{2}-1... ... $第二步
$=a-1... ... $第三步
小红的解答从第____步开始出错,请写出正确的解答过程。

答案： 【解析】：本题可根据完全平方公式来判断小红解答过程中的错误步骤，再按照正确的运算规则进行计算。
- **步骤一：判断错误步骤**
完全平方公式为$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，在$(a - 1)^2$中，$m = a$，$n = 1$，则$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$，而小红在第一步将$(a - 1)^2$展开成了$a^2 - 1$，所以小红的解答从第一步开始出错。
- **步骤二：写出正确的解答过程**
根据上述分析，对原式进行正确计算：
$\begin{aligned}a(1 + a) - (a - 1)^2&= a + a^2 - (a^2 - 2a + 1)\\&= a + a^2 - a^2 + 2a - 1\\&=(a + 2a)+(a^2 - a^2) - 1\\&= 3a - 1\end{aligned}$
【答案】：一