《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. 如图,四边形ABCD中,$∠A= ∠C= 90^{\circ },BE,DF分别是∠ABC,∠ADC$的平分线。试说明:
(1)$∠1+∠2= 90^{\circ }$;
(2)$BE// DF$。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形内角和为$360^{\circ}$，$\angle A = \angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ADC = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=180^{\circ}$。
由于$BE$，$DF$分别是$\angle ABC$，$\angle ADC$的平分线，所以$\angle 1=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle 2 = \frac{1}{2}\angle ADC$。
则$\angle 1+\angle 2=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ADC)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
(2) 在$\triangle FCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle DFC+\angle 2 = 90^{\circ}$。
又因为$\angle 1+\angle 2 = 90^{\circ}$，所以$\angle 1=\angle DFC$（同角的余角相等）。
根据同位角相等，两直线平行，可得$BE// DF$。
【答案】：
(1) $\angle 1+\angle 2 = 90^{\circ}$得证。
(2) $BE// DF$得证。

17. 如图,BE平分$∠ABD$,DE平分$∠BDC$,且$BE⊥DE$于E,那么$AB// CD$吗? 为什么?

解:$AB// CD$.理由如下:(请将过程补充完整)
因为$BE⊥DE$,所以$∠BED= $____。
因为$∠1+∠2+∠BED= $____,
所以$∠1+∠2= $____。
因为BE平分$∠ABD$,DE平分$∠BDC$,
所以$∠ABD= 2∠$____,$∠BDC= 2∠$____,
所以$∠ABD+∠BDC= 2(∠1+∠2)= $____,
所以____$// $____。

答案： 【解析】：
因为$BE⊥DE$，根据垂直的定义，所以$∠BED = 90^{\circ}$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle BED$中，$∠1 + ∠2 + ∠BED = 180^{\circ}$。
把$∠BED = 90^{\circ}$代入$∠1 + ∠2 + ∠BED = 180^{\circ}$，所以$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}-∠BED=180^{\circ} - 90^{\circ}=90^{\circ}$。
因为$BE$平分$∠ABD$，$DE$平分$∠BDC$，根据角平分线的定义，所以$∠ABD = 2∠1$，$∠BDC = 2∠2$。
把$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$代入$∠ABD + ∠BDC = 2(∠1 + ∠2)$，所以$∠ABD + ∠BDC = 2×90^{\circ}=180^{\circ}$。
根据同旁内角互补，两直线平行，所以$AB// CD$。
【答案】：$90^{\circ}$；$180^{\circ}$；$90^{\circ}$；$1$；$2$；$180^{\circ}$；$AB$；$CD$。