《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. 如图,已知$AB// CD$,连接$BC$。点$E$,$F是直线AB$上不重合的两点,$G是CD$上一点,连接$ED交BC于点N$,连接$FG交BC于点M$。若$∠ENC+∠CMG= 180^{\circ }$。
(1)求证:$∠2= ∠3$;
(2)若$∠A= ∠1+60^{\circ }$,$∠ACB= 50^{\circ }$,求$∠B$的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$\angle2 = \angle3$
已知$\angle ENC+\angle CMG = 180^{\circ}$，又因为$\angle CMG+\angle FMN=180^{\circ}$（邻补角的定义），所以$\angle ENC=\angle FMN$（同角的补角相等）。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$FG// ED$。
再根据“两直线平行，同位角相等”，因为$FG// ED$，所以$\angle2=\angle CDE$。
又因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle3 = \angle CDE$。
所以$\angle2=\angle3$（等量代换）。
### $(2)$ 求$\angle B$的度数
因为$AB// CD$，所以$\angle A+\angle ACD = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$\angle ACB = 50^{\circ}$，即$\angle1 + 50^{\circ}+\angle A=180^{\circ}$，又因为$\angle A=\angle1 + 60^{\circ}$。
将$\angle A=\angle1 + 60^{\circ}$代入$\angle1 + 50^{\circ}+\angle A=180^{\circ}$中，得到$\angle1+50^{\circ}+\angle1 + 60^{\circ}=180^{\circ}$。
化简可得$2\angle1=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$，解得$\angle1 = 35^{\circ}$。
因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$\angle B=\angle1 = 35^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{35^{\circ}}$

17. 如图,$EF// AD$,$AD// BC$,$∠DAC= 120^{\circ }$。
(1)若$AB平分∠DAC$,求$∠ABC$的度数;
(2)若$∠ACF= 20^{\circ }$,求$∠BCF$的度数;
(3)在(2)的条件下,若$CE平分∠BCF$,求$∠CEF$的度数。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 求$\angle ABC$的度数
已知$AB$平分$\angle DAC$，$\angle DAC = 120^{\circ}$，根据角平分线的定义，可得$\angle DAB=\frac{1}{2}\angle DAC=\frac{1}{2}×120^{\circ}=60^{\circ}$。
又因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ABC = \angle DAB = 60^{\circ}$。
### $(2)$ 求$\angle BCF$的度数
因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle ACB+\angle DAC = 180^{\circ}$。
已知$\angle DAC = 120^{\circ}$，则$\angle ACB=180^{\circ}-\angle DAC = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$\angle ACF = 20^{\circ}$，所以$\angle BCF=\angle ACB - \angle ACF=60^{\circ}-20^{\circ}=40^{\circ}$。
### $(3)$ 求$\angle CEF$的度数
因为$CE$平分$\angle BCF$，$\angle BCF = 40^{\circ}$，根据角平分线的定义，可得$\angle BCE=\frac{1}{2}\angle BCF=\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$。
又因为$EF// AD$，$AD// BC$，根据平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以$EF// BC$。
再根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle CEF+\angle BCE = 180^{\circ}$，则$\angle CEF=180^{\circ}-\angle BCE=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{60^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{40^{\circ}}$；$(3)$$\boldsymbol{160^{\circ}}$