《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. 已知一个三角形的第一条边长为$3a+b$,第二条边长为$2a-b$,第三条边长为 m。
(1)求第三条边长 m 的取值范围(用含 a,b 的式子表示);
(2)若 a,b 满足$|a-5|+(b-2)^{2}= 0$,第三条边长 m 为整数,求这个三角形周长的最大值。

答案： 【解析】：
(1)根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来确定$m$的取值范围。
已知三角形第一条边长为$3a + b$，第二条边长为$2a - b$，则第三条边$m$的取值范围是：
$(3a + b)-(2a - b)\lt m\lt(3a + b)+(2a - b)$
对不等式进行化简：
$3a + b - 2a + b\lt m\lt3a + b + 2a - b$
$a + 2b\lt m\lt5a$
(2)因为$\vert a - 5\vert+(b - 2)^{2}=0$，根据绝对值和平方数的非负性可知：
$\vert a - 5\vert\geq0$，$(b - 2)^{2}\geq0$，要使它们的和为$0$，则$\vert a - 5\vert = 0$且$(b - 2)^{2}= 0$。
即$a - 5 = 0$，解得$a = 5$；$b - 2 = 0$，解得$b = 2$。
把$a = 5$，$b = 2$代入$a + 2b\lt m\lt5a$中，可得：
$5 + 2×2\lt m\lt5×5$
$5 + 4\lt m\lt25$
$9\lt m\lt25$
因为$m$为整数，所以$m$的最大值为$24$。
此时三角形的周长为三条边相加，即$(3a + b)+(2a - b)+m$，把$a = 5$，$b = 2$，$m = 24$代入可得：
$(3×5 + 2)+(2×5 - 2)+24$
$=(15 + 2)+(10 - 2)+24$
$=17 + 8 + 24$
$=25 + 24$
$= 49$
【答案】：
(1)$a + 2b\lt m\lt5a$；
(2)$49$

17. 如图,在$△ABC$中,$∠B= 30^{\circ },∠ACB= 110^{\circ }$,AD 是 BC 边上高线,AE 平分$∠BAC$,求$∠DAE$的度数。

答案： 【解析】：
1. 首先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 110^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle ACB$。
即$\angle BAC = 180^{\circ}-30^{\circ}-110^{\circ}=40^{\circ}$。
2. 然后求$\angle BAE$的度数：
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC$。
把$\angle BAC = 40^{\circ}$代入可得$\angle BAE=\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$。
3. 接着求$\angle BAD$的度数：
因为$AD$是$BC$边上的高线，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BAD = 180^{\circ}-\angle B-\angle ADB$。
把$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle ADB = 90^{\circ}$代入可得$\angle BAD = 180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$。
4. 最后求$\angle DAE$的度数：
$\angle DAE=\angle BAD-\angle BAE$。
把$\angle BAD = 60^{\circ}$，$\angle BAE = 20^{\circ}$代入可得$\angle DAE = 60^{\circ}-20^{\circ}=40^{\circ}$。
【答案】：$40^{\circ}$