《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

22. (8分)如图,已知$△ABC$,点D在BC边上。
(1)求作$△DEF$,使$△DEF\cong △ABC$,并满足点E在BC的延长线上,$DF// AB$;(请用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)根据你的作图方法,说明$△DEF\cong △ABC$的理由。

答案： 【解析】：
(1) 作图步骤：
以点$D$为顶点，$DC$为一边，作$\angle FDE=\angle B$；
在射线$DE$上截取$DE = BC$；
以点$D$为圆心，$AB$长为半径画弧，以点$E$为圆心，$AC$长为半径画弧，两弧交于点$F$，连接$DF$、$EF$，则$\triangle DEF$即为所求。
(2) 理由：
由作图可知$\angle FDE=\angle B$，$DE = BC$。
因为$DF// AB$，所以$\angle DFE=\angle A$（两直线平行，同位角相等）。
在$\triangle DEF$和$\triangle ABC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle FDE=\angle B\\ DE = BC\\ \angle DFE=\angle A\end{array}\right.$，所以$\triangle DEF\cong\triangle ABC(ASA)$。
【答案】：
(1) 见上述作图步骤；
(2) $\triangle DEF\cong\triangle ABC(ASA)$。

23. (10分)如图,$△ABC与△ADE$是以点A为公共顶点的两个三角形,且$AD= AE,AB= AC,∠DAE= ∠CAB= 90^{\circ }$,且线段BD,CE交于点F。
(1)求证:$△AEC\cong △ADB$;
(2)在不添加任何辅助线和字母的情况下,直接写出图中所有的直角三角形。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle DAE = \angle CAB = 90^{\circ}$，所以$\angle DAE+\angle DAC=\angle CAB+\angle DAC$，即$\angle EAC = \angle DAB$。
在$\triangle AEC$和$\triangle ADB$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AD\\\angle EAC=\angle DAB\\AC = AB\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AEC\cong\triangle ADB$。
(2) 因为$\angle DAE = \angle CAB = 90^{\circ}$，所以$\triangle ADE$、$\triangle ABC$是直角三角形。
由$\triangle AEC\cong\triangle ADB$可得$\angle AEC=\angle ADB$，又因为$\angle ADE + \angle AED = 90^{\circ}$，$\angle AED=\angle AEC+\angle DEC$，$\angle ADE=\angle ADB+\angle BDF$，所以$\angle DEC+\angle BDF = 90^{\circ}$，则$\angle DFE = 90^{\circ}$，所以$\triangle DEF$、$\triangle BFC$是直角三角形。
因为$\angle AEC=\angle ADB$，$\angle EAD = 90^{\circ}$，所以$\angle ECA+\angle AEC = 90^{\circ}$，则$\angle ECA+\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle DFC = 90^{\circ}$，$\triangle DFC$、$\triangle BEF$是直角三角形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) $\triangle ADE$、$\triangle ABC$、$\triangle DEF$、$\triangle BFC$、$\triangle DFC$、$\triangle BEF$。