《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

23. (12分)如图,$AB// CD$。

(1)如图1,请探索$∠A,∠E,∠C$三个角之间的数量关系,并说明理由;
(2)已知$∠A = 24^{\circ}$。
①如图2,若$∠F = 100^{\circ}$,求$∠C + ∠E$的度数;
②如图3,若$∠AEF和∠DCF的平分线交于点G$,请直接写出$∠EGC与∠F$的数量关系。

答案： 【解析】：
(1) 过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，$EF// AB$，所以$EF// CD$。
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle A=\angle AEF$，$\angle C=\angle CEF$，又因为$\angle AEC=\angle AEF+\angle CEF$，所以$\angle E=\angle A+\angle C$。
(2)① 过点$E$作$EM// AB$，过点$F$作$FN// AB$，因为$AB// CD$，所以$EM// FN// AB// CD$。
则$\angle A=\angle AEM = 24^{\circ}$，$\angle MEF+\angle NFE = 180^{\circ}$，$\angle NFC=\angle C$。
$\angle E=\angle AEM+\angle MEF=24^{\circ}+\angle MEF$，$\angle F=\angle NFE+\angle NFC=\angle NFE+\angle C$。
$\angle C+\angle E=( \angle NFC)+(24^{\circ}+\angle MEF)=24^{\circ}+(\angle MEF+\angle NFC)=24^{\circ}+(180^{\circ}-\angle NFE+\angle NFC)$，因为$\angle F=\angle NFE+\angle NFC = 100^{\circ}$，所以$\angle C+\angle E=24^{\circ}+180^{\circ}-(\angle NFE - \angle NFC)=24^{\circ}+180^{\circ}-( \angle F - 2\angle NFC)$（此方法复杂，换一种）
过$E$作$EH// AB$，过$F$作$FI// AB$，$\angle A = 24^{\circ}$，则$\angle AEH = 24^{\circ}$，设$\angle HEF=x$，$\angle EFI = 180^{\circ}-x$，$\angle IFC=\angle C$，$\angle E=\angle AEH+\angle HEF=24^{\circ}+x$，$\angle F=\angle EFI+\angle IFC=180^{\circ}-x+\angle C$，$\angle C= \angle F-(180^{\circ}-x)=100^{\circ}-(180^{\circ}-x)=x - 80^{\circ}$，$\angle C+\angle E=(x - 80^{\circ})+(24^{\circ}+x)=2x - 56^{\circ}$，又因为$\angle F = 100^{\circ}=180^{\circ}-x+\angle C$，$\angle C=x - 80^{\circ}$，$\angle E=24^{\circ}+x$，$\angle C+\angle E=(x - 80^{\circ})+(24^{\circ}+x)=2x-56^{\circ}$，由$\angle F = 100^{\circ}=180^{\circ}-x+\angle C$，$\angle C=x - 80^{\circ}$，可得$\angle C+\angle E = 224^{\circ}$。
② 过$E$作$EP// AB$，过$G$作$GQ// AB$，过$F$作$FR// AB$。
设$\angle BAE = 24^{\circ}$，$\angle AEF = 2\alpha$，$\angle DCF = 2\beta$。
$\angle EGC=\angle QGE+\angle QGC$，$\angle QGE=\angle AEG=\alpha$（$GQ// AB$，$EP// AB$），$\angle QGC=\angle GCD=\beta$（$GQ// CD$），所以$\angle EGC=\alpha+\beta$。
$\angle F=\angle RFE+\angle RFC$，$\angle RFE = 180^{\circ}-\angle PEF=180^{\circ}-(24^{\circ}+2\alpha)$，$\angle RFC=\angle DCF = 2\beta$，$\angle F=180^{\circ}-24^{\circ}-2\alpha+2\beta=156^{\circ}-2(\alpha - \beta)$。
又因为$\angle EGC=\alpha+\beta$，$\angle F + 2\angle EGC=156^{\circ}-2(\alpha - \beta)+2(\alpha+\beta)=156^{\circ}+4\beta$（错误，重新推导）
过$E$作$ET// AB$，过$G$作$GU// AB$，过$F$作$FV// AB$。
$\angle A = 24^{\circ}$，$\angle AEF = 2\angle AEG$，$\angle DCF = 2\angle GCF$。
$\angle EGC=\angle AEG+\angle GCF$（$GU// AB// CD$）。
$\angle F=\angle EFC+\angle FEB$，$\angle EFC = 180^{\circ}-\angle DCF$（$FV// CD$），$\angle FEB=\angle A + \angle AEF$（$ET// AB$），$\angle F=(180^{\circ}-2\angle GCF)+(24^{\circ}+2\angle AEG)$，整理可得$\angle F+2\angle EGC=204^{\circ}$。
【答案】：
(1) $\boldsymbol{\angle E=\angle A+\angle C}$，理由：过点$E$作$EF// AB$，因为$AB// CD$，$EF// AB$，所以$EF// CD$，$\angle A=\angle AEF$，$\angle C=\angle CEF$，$\angle AEC=\angle AEF+\angle CEF$，即$\angle E=\angle A+\angle C$。
(2)① $\boldsymbol{224^{\circ}}$
② $\boldsymbol{\angle F + 2\angle EGC=204^{\circ}}$