《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. 如图,已知点C在AB上,$MC⊥CN$,CN平分$∠BCD$。
(1)试说明:CM平分$∠ACD$;
(2)若$∠1= ∠M,∠4= ∠N$,试说明:$AM// BN$。

答案： 【解析】：
(1) 因为$MC\perp CN$，所以$\angle MCN = 90^{\circ}$，即$\angle 2+\angle 3 = 90^{\circ}$，那么$\angle 1+\angle 4=180^{\circ}-\angle MCN = 90^{\circ}$。
又因为$CN$平分$\angle BCD$，所以$\angle 3=\angle 4$。
根据等角的余角相等，可得$\angle 1=\angle 2$，所以$CM$平分$\angle ACD$。
(2) 在$\triangle ACM$中，$\angle M+\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$），因为$\angle 1=\angle 2$，$\angle 1 = \angle M$，所以$\angle 1=\angle 2=\angle M = 60^{\circ}$。
在$\triangle BCN$中，$\angle N+\angle 3+\angle 4 = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$），因为$\angle 3=\angle 4$，$\angle 4 = \angle N$，所以$\angle 3=\angle 4=\angle N = 60^{\circ}$。
所以$\angle A+\angle B=180^{\circ}-(\angle 1+\angle 2)+180^{\circ}-(\angle 3+\angle 4)=180^{\circ}$。
根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AM// BN$。
【答案】：
(1) 因为$MC\perp CN$，所以$\angle MCN = 90^{\circ}$，即$\angle 2+\angle 3 = 90^{\circ}$，$\angle 1+\angle 4 = 90^{\circ}$。又$CN$平分$\angle BCD$，所以$\angle 3=\angle 4$，则$\angle 1=\angle 2$，所以$CM$平分$\angle ACD$。
(2) 由三角形内角和及已知条件可得$\angle 1=\angle 2=\angle M = 60^{\circ}$，$\angle 3=\angle 4=\angle N = 60^{\circ}$，进而$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$，所以$AM// BN$（同旁内角互补，两直线平行）。