《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

15. 如图,$AB// CD,AB= CD,AD,BC$相交于点 O,$BE// CF,BE,CF$分别交 AD 于点 E,F。
(1)求证:$△ABO\cong △DCO;$
(2)求证:$BE= CF$。

答案： 【解析】：
(1) 因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle A=\angle D$，$\angle ABO=\angle DCO$。
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\AB = CD\\\angle ABO=\angle DCO\end{cases}$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，所以$\triangle ABO\cong\triangle DCO$。
(2) 由$\triangle ABO\cong\triangle DCO$，可得$BO = CO$。
因为$BE// CF$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BEO=\angle CFO$。
在$\triangle BEO$和$\triangle CFO$中，$\begin{cases}\angle BEO=\angle CFO\\\angle BOE=\angle COF\\BO = CO\end{cases}$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）判定定理，所以$\triangle BEO\cong\triangle CFO$。
根据全等三角形的对应边相等，所以$BE = CF$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。

16. 作图题:已知:线段 a,c 和$∠β$(如图),利用直尺和圆规作$△ABC$,使$BC= a$,$AB= c,∠ABC= ∠β$。(不写作法,保留作图痕迹)

答案： 【解析】：先作$\angle MBN = \angle\beta$，再在射线$BM$上截取$BC = a$，在射线$BN$上截取$BA = c$，连接$AC$，则$\triangle ABC$即为所求作的三角形。
【答案】：作出的$\triangle ABC$（保留作图痕迹）。

17. 如图,在等腰直角三角形 ABC 和 DEC 中,$∠BCA= ∠DCE= 90^{\circ }$,点 E 在边AB 上,ED 与 AC 交于点 F,连接 AD。
(1)求证:$△BCE\cong △ACD;$
(2)求证:$AB⊥AD$。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle BCA = \angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle BCA-\angle ECA=\angle DCE-\angle ECA$，即$\angle BCE=\angle ACD$。
又因为$\triangle ABC$和$\triangle DEC$是等腰直角三角形，所以$BC = AC$，$EC = DC$。
在$\triangle BCE$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}BC = AC\\\angle BCE=\angle ACD\\EC = DC\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BCE\cong\triangle ACD$。
(2) 因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BCA = 90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle BAC = 45^{\circ}$。
由
(1)知$\triangle BCE\cong\triangle ACD$，所以$\angle B=\angle CAD = 45^{\circ}$。
则$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$，所以$AB\perp AD$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。