《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

10. 如图,点$D为△ABC$内一点,过点$D的直线EF与边AB$,$AC分别交于点F,E$。若点$E,F恰好分别在CD,BD$的垂直平分线上,记$∠DBF= α$,$∠A+2∠DCE= β$,则$α,β$满足的关系式为()
A. $β-α= 90^{\circ }$
B. $β-2α= 90^{\circ }$
C. $2α+β= 180^{\circ }$
D. $2β+α= 180^{\circ }$

答案： B

11. 已知一个等腰三角形的底边长为$10cm$,一腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另一部分长$5cm$,那么这个三角形的腰长为____$cm$。

答案： $15$

12. 如图,$△ABC$是等边三角形,$BD平分∠ABC$,点$E在BC$的延长线上,且$CE= 1$,$∠E= 30^{\circ }$,则$BC= $____。

答案： $2$

13. 如图,已知$△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D,E$,若边$BC的长为8cm$,则$△ADE$的周长为____。

答案： $8cm$

14. 如图,在$△ABC$中,边$AB的垂直平分线交BC于点E$,边$BC的垂直平分线交BC于点F$,两条垂直平分线交于点$P$,连接$PA,PB,PC$。若$∠PEF= 20^{\circ }$,则$∠APC$的度数为____。

答案： $140^{\circ}$

15. 如图,已知$△ABC$。
(1)求作:$△ABC$的三边的垂直平分线;
(2)三角形三边的垂直平分线相交于一点,那么这个交点到三角形三个顶点的距离是否相等? 这个结论是否随着三角形的变化而变化?

答案： 【解析】：
(1) 分别作线段$AB$、$BC$、$AC$的垂直平分线（作垂直平分线的方法：分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，即为该线段的垂直平分线）。
(2) 根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。设三边垂直平分线交点为$O$，因为$O$在$AB$的垂直平分线上，所以$OA = OB$；因为$O$在$BC$的垂直平分线上，所以$OB = OC$；因为$O$在$AC$的垂直平分线上，所以$OA = OC$，所以$OA=OB = OC$，即这个交点到三角形三个顶点的距离相等。这个结论不会随着三角形的变化而变化，对于任意三角形三边垂直平分线的交点（外心）到三个顶点的距离都相等。
【答案】：
(1) 按上述方法作出三边垂直平分线。
(2) 这个交点到三角形三个顶点的距离相等，这个结论不随三角形的变化而变化。