《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

15. 如图是$4×4$正方形网格,其中有2个小正方形被涂黑,请再选择3个小正方形并涂黑,使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形。请补全图形,并且画出对称轴(如图例),要求所画的四种方案不能重复。

答案： 【解析】：根据轴对称图形的定义，即沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，通过对$4×4$正方形网格中未涂黑小正方形的合理选择与涂黑来构造轴对称图形。
【答案】：
方案一：将第一行第四列、第三行第一列、第四行第四列小正方形涂黑，对称轴为从左上到右下倾斜的直线（经过第一行第一列与第四行第四列小正方形顶点连线）。
方案二：将第二行第一列、第三行第四列、第四行第二列小正方形涂黑，对称轴为从右上到左下倾斜的直线（经过第一行第四列与第四行第一列小正方形顶点连线）。
方案三：将第一行第二列、第四行第一列、第四行第三列小正方形涂黑，对称轴为水平直线（经过第二行与第三行中间）。
方案四：将第二行第四列、第三行第二列、第四行第三列小正方形涂黑，对称轴为垂直直线（经过第二列与第三列中间）。

16. 已知直线AB和$△DEF$,作$△DEF$关于直线AB的对称图形(如图所示),将作图步骤补充完整:
(1)分别过点D,E,F作直线AB的垂线,垂足分别是点____;
(2)分别延长DM,EP,FN至点____,使____=____,____=____,____=____;
(3)顺次连接____,____,____,得$△DEF$关于直线AB的对称图形$△GHI$。

答案： 【解析】：
(1)根据图形可知，分别过点$D$，$E$，$F$作直线$AB$的垂线，垂足分别是点$M$，$P$，$N$。
(2)根据对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，分别延长$DM$，$EP$，$FN$至点$G$，$H$，$I$，使$MG = MD$，$PH = PE$，$NI = NF$。
(3)顺次连接$G$，$H$，$I$，得$\triangle DEF$关于直线$AB$的对称图形$\triangle GHI$。
【答案】：
(1)$M$，$P$，$N$
(2)$G$，$H$，$I$；$MG$，$MD$；$PH$，$PE$；$NI$，$NF$
(3)$G$，$H$，$I$

17. 如图,在$△ABC$中,$∠B=90^{\circ }$,将$△ABC$沿直线DE折叠,使点C落在点A处,若$∠AEB=50^{\circ },△ABC$的周长比$△ABE$的周长长12 cm。求:
(1)$∠C$的度数;
(2)线段AC的长。

答案： 【解析】：
### $(1)$求$\angle C$的度数
- 根据折叠的性质可知$\triangle ADE\cong\triangle CDE$，所以$\angle AED=\angle CED$，$AE = CE$。
- 因为$\angle AEB+\angle AED+\angle CED = 180^{\circ}$，$\angle AEB = 50^{\circ}$，所以$\angle AED=\angle CED=\frac{180^{\circ}-\angle AEB}{2}=\frac{180 - 50}{2}=65^{\circ}$。
- 又因为$\angle CED$是$\triangle CDE$的一个外角，在$Rt\triangle ABC$中$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle CED=\angle C+\angle CDE$，且$\angle CDE = 90^{\circ}$（折叠后$\angle ADE=\angle CDE = 90^{\circ}$），所以$\angle C=\angle CED - 90^{\circ}=65^{\circ}- 25^{\circ}=25^{\circ}$。
### $(2)$求线段$AC$的长
- 已知$\triangle ABC$的周长比$\triangle ABE$的周长长$12cm$，$\triangle ABC$的周长$=AB + BC+AC$，$\triangle ABE$的周长$=AB + BE + AE$。
- 因为$AE = CE$（折叠性质），所以$\triangle ABC$的周长$-\triangle ABE$的周长$=(AB + BC + AC)-(AB + BE + AE)=(AB + BE + EC+AC)-(AB + BE + AE)=AC$。
- 即$AC = 12cm$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{25^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{12cm}$