《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. $O为直线DA$上一点,$OB⊥OF$,$EO是∠AOB$的平分线。
(1)如图1,若$∠AOB= 130^{\circ }$,求$∠EOF$的度数;
(2)若$∠AOB= α$,$90^{\circ }＜α＜180^{\circ }$,求$∠EOF$的度数;
(3)若$∠AOB= α$,$0^{\circ }＜α＜90^{\circ }$,请在图2中画出射线$OF$,使得(2)中所求$∠EOF$的结果仍然成立。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 求$\angle EOF$的度数
已知$EO$是$\angle AOB$的平分线，$\angle AOB = 130^{\circ}$，根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，可得$\angle EOB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×130^{\circ}=65^{\circ}$。
又因为$OB\perp OF$，所以$\angle BOF = 90^{\circ}$。
根据$\angle EOF=\angle BOF-\angle EOB$，可得$\angle EOF = 90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
### $(2)$ 求$\angle EOF$的度数
因为$EO$是$\angle AOB$的平分线，$\angle AOB=\alpha$，所以$\angle EOB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\alpha$。
由于$OB\perp OF$，即$\angle BOF = 90^{\circ}$。
根据$\angle EOF=\angle BOF-\angle EOB$，可得$\angle EOF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
### $(3)$ 画出射线$OF$
因为$\angle EOF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$，$OB\perp OF$，$EO$是$\angle AOB$的平分线，所以$OF$的画法为：以$O$为顶点，$OB$为一边，在$\angle AOB$的外部作$\angle BOF = 90^{\circ}$（具体图形略，可根据上述条件用直尺和量角器画出）。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{25^{\circ}}$；
$(2)$$\boldsymbol{90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha}$；
$(3)$ 以$O$为顶点，$OB$为一边，在$\angle AOB$的外部作$\angle BOF = 90^{\circ}$（图略）。