《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

20. (8分)如图,在$△ABC$中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,$∠CAB= 50^{\circ },∠C= 60^{\circ }$,求$∠DAE和∠BOA$的度数。

答案： 【解析】：
- 首先求$\angle ABC$的度数：
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle CAB = 50^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$，则$\angle ABC=180^{\circ}-\angle CAB - \angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ}=70^{\circ}$。
然后求$\angle CAD$的度数：
因为$AD$是高，$\angle ADC = 90^{\circ}$，在$\triangle ADC$中，$\angle CAD=180^{\circ}-\angle ADC-\angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
接着求$\angle BAE$和$\angle ABF$的度数：
因为$AE$是角平分线，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle CAB=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$BF$是角平分线，所以$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$。
再求$\angle DAE$的度数：
$\angle DAE=\angle CAD-\angle BAE=30^{\circ}-25^{\circ}=5^{\circ}$。
最后求$\angle BOA$的度数：
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle AOB$中，$\angle BOA = 180^{\circ}-\angle BAE-\angle ABF=180^{\circ}-25^{\circ}-35^{\circ}=120^{\circ}$。
【答案】：$\angle DAE = 5^{\circ}$，$\angle BOA = 120^{\circ}$。

21. (8分)如图,在五边形ABCDE中,$AE= BC,DE= DC,∠E= ∠C$,F为AB的中点,连接DA,DF,DB。求证:$DF⊥AB$。

答案： 【解析】：
在$\triangle ADE$和$\triangle BDC$中，
$\begin{cases}AE = BC\\\angle E=\angle C\\DE = DC\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle BDC$。
所以$AD = BD$（全等三角形对应边相等）。
因为$F$为$AB$的中点，即$AF = BF$。
在等腰$\triangle ABD$中，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），因为$DF$是中线（$AF = BF$），所以$DF\perp AB$。
【答案】：
在$\triangle ADE$和$\triangle BDC$中，$\begin{cases}AE = BC\\\angle E=\angle C\\DE = DC\end{cases}$，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle BDC(SAS)$，$\therefore AD = BD$。
$\because F$为$AB$中点，$\therefore AF = BF$，$\therefore DF\perp AB$（等腰三角形三线合一）。