《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. 在$△ABC$中,点D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD。
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,$S_{△ABD}:S_{△ACD}= $____;
(2)如图2,当AD是$∠BAC$的平分线时,若$AB= m,AC= n$,求$S_{△ABD}:S_{△ACD}$的值(用含m,n的代数式表示);
(3)如图3,AD平分$∠BAC$,延长AD到点E,使得$AD= DE$,连接BE,如果$AC= 2,AB= 4,S_{△BDE}= 6$,那么$S_{△ABC}= $____。

答案： 【解析】：
(1) 因为点$D$是$BC$边上的中点，所以$BD = CD$。
设$\triangle ABC$中$BC$边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot h$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD\cdot h$，所以$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD}=BD:CD = 1:1$。
(2) 过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DF$。
已知$AB = m$，$AC = n$，则$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot DE}{\frac{1}{2}AC\cdot DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{m}{n}$。
(3) 因为$AD = DE$，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BDE}$（等底等高的三角形面积相等，底为$AD$与$DE$，高为$B$到$AE$的距离），已知$S_{\triangle BDE}=6$，所以$S_{\triangle ABD}=6$。
由
(2)可知$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AB}{AC}$，已知$AC = 2$，$AB = 4$，即$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{4}{2}=2$，则$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$。
把$S_{\triangle ABD}=6$代入可得$S_{\triangle ACD}=3$。
所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=6 + 3=9$。
【答案】：
(1) $1:1$
(2) $\frac{m}{n}$
(3) $9$