《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. 计算:
(1)$(x^{2})^{5}×(-x)^{5}$;
(2)$[(2x-y)^{2}]^{5}$;
(3)$(m^{4})^{2}+m^{5}\cdot m^{3}+(-m)^{4}\cdot m^{4}$。

答案： 【解析】：
(1)
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，先计算$(x^{2})^{5}$，可得$(x^{2})^{5}=x^{2×5}=x^{10}$；
再根据负数的奇次幂是负数，$(-x)^{5}=-x^{5}$；
然后根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$x^{10}×(-x^{5})=-x^{10 + 5}=-x^{15}$。
(2)
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，对于$[(2x - y)^{2}]^{5}$，这里$a = 2x - y$，$m = 2$，$n = 5$，则$[(2x - y)^{2}]^{5}=(2x - y)^{2×5}=(2x - y)^{10}$。
(3)
对于$(m^{4})^{2}$，根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，可得$(m^{4})^{2}=m^{4×2}=m^{8}$；
对于$m^{5}\cdot m^{3}$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$m^{5}\cdot m^{3}=m^{5 + 3}=m^{8}$；
对于$(-m)^{4}\cdot m^{4}$，先根据负数的偶次幂是正数，$(-m)^{4}=m^{4}$，再根据同底数幂相乘，$m^{4}\cdot m^{4}=m^{4+4}=m^{8}$；
最后将这三项相加，$m^{8}+m^{8}+m^{8}=3m^{8}$。
【答案】：
(1)$-x^{15}$；
(2)$(2x - y)^{10}$；
(3)$3m^{8}$

17. 设 n 为正整数,且$x^{2n}= 5$,求$(2x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}$的值。

答案： 【解析】：
本题可先根据幂的运算法则对$(2x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}$进行化简，再将$x^{2n}= 5$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：根据幂的运算法则化简$(2x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}$。**
**化简$(2x^{3n})^{2}$：**
根据积的乘方法则$(ab)^m=a^m× b^m$，可得$(2x^{3n})^{2}=2^2×(x^{3n})^2$。
再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(x^{3n})^2=x^{3n×2}=x^{6n}$，而$x^{6n}=(x^{2n})^3$，所以$(2x^{3n})^{2}=2^2×(x^{2n})^3 = 4×(x^{2n})^3$。
**化简$3(x^{2})^{2n}$：**
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(x^{2})^{2n}=x^{2×2n}=x^{4n}$，而$x^{4n}=(x^{2n})^2$，所以$3(x^{2})^{2n}=3×(x^{2n})^2$。
因此，$(2x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}=4×(x^{2n})^3 - 3×(x^{2n})^2$。
- **步骤二：将$x^{2n}= 5$代入化简后的式子求值。**
把$x^{2n}= 5$代入$4×(x^{2n})^3 - 3×(x^{2n})^2$可得：
$4×5^3 - 3×5^2$
$=4×125 - 3×25$
$=500 - 75$
$= 425$
【答案】：$425$