《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

24. (10分)在$△ABC$中,$∠A= 60^{\circ }$,BE,CF分别是$∠ABC和∠ACB$的平分线,CF与BE相交于点O。

(1)如图1,若$∠ACB= 90^{\circ }$,求证:$BF+CE= BC$;
(2)如图2,若$∠ABC与∠ACB$是任意角度,(1)中的结论是否仍成立? 请说明你的理由。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$BF + CE = BC$
已知$\angle A=60^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 15^{\circ}$，则$\angle BEC=\angle A+\angle ABE=60^{\circ}+15^{\circ}=75^{\circ}$。
又因为$CF$平分$\angle ACB$，所以$\angle FCB = 45^{\circ}$。
在$BC$上截取$BD = BF$，连接$OD$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\triangle BOF\cong\triangle BOD(SAS)$，则$\angle BOF=\angle BOD$。
因为$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle OBC-\angle OCB=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(30^{\circ} + 90^{\circ})=120^{\circ}$，所以$\angle BOF=\angle COE = 60^{\circ}$，$\angle BOD = 60^{\circ}$，那么$\angle DOC=\angle COE = 60^{\circ}$。
因为$CF$平分$\angle ACB$，所以$\triangle COD\cong\triangle COE(ASA)$，则$CD = CE$。
所以$BC=BD + CD=BF + CE$。
### $(2)$ 判断$(1)$中的结论是否成立
在$BC$上截取$BD = BF$，连接$OD$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$BO = BO$，所以$\triangle BOF\cong\triangle BOD(SAS)$，则$\angle BOF=\angle BOD$。
因为$\angle BOC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$，已知$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle BOC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$，则$\angle BOF=\angle COE = 60^{\circ}$，$\angle BOD = 60^{\circ}$，所以$\angle DOC=\angle COE = 60^{\circ}$。
又因为$CF$平分$\angle ACB$，$CO = CO$，所以$\triangle COD\cong\triangle COE(ASA)$，则$CD = CE$。
所以$BC=BD + CD=BF + CE$，即$(1)$中的结论仍成立。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$ 成立，理由如上述解析。