《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

18. (8分)在一个不透明的袋子里,装有9个大小和形状一样的小球,其中3个红球,3个白球,3个黑球,它们已在口袋中被搅匀,现在有一个事件:从口袋中任意摸出n个球,红球、白球、黑球至少各有一个。
(1)当n为何值时,这个事件必然发生?
(2)当n为何值时,这个事件不可能发生?
(3)当n为何值时,这个事件可能发生?

答案： 【解析】：
本题可根据必然事件、不可能事件和随机事件的概念，结合袋子中球的数量和颜色情况来确定$n$的取值。
### （1）确定事件必然发生时$n$的值
必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。
要使从口袋中任意摸出$n$个球，红球、白球、黑球至少各有一个必然发生，考虑最不利的情况，即先把其中两种颜色的球全部摸完，再摸一个球就一定能保证三种颜色的球都有。
因为袋子里有$3$个红球、$3$个白球和$3$个黑球，所以最不利的情况是先把其中两种颜色的$3 + 3 = 6$个球全部摸出，再摸$1$个球就一定是第三种颜色的球，此时$n = 6 + 1 = 7$。
当$n = 7$、$8$、$9$时，都能保证红球、白球、黑球至少各有一个，所以当$n = 7$、$8$、$9$时，这个事件必然发生。
### （2）确定事件不可能发生时$n$的值
不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件。
要使从口袋中任意摸出$n$个球，红球、白球、黑球至少各有一个不可能发生，那么摸出的球的数量小于$3$个，因为当摸出的球数量小于$3$个时，最多只能有两种颜色的球，不可能三种颜色的球都有。
所以当$n = 1$、$2$时，这个事件不可能发生。
### （3）确定事件可能发生时$n$的值
可能事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
结合前面（1）和（2）的分析，当$n = 3$、$4$、$5$、$6$时，有可能出现红球、白球、黑球至少各有一个的情况，也有可能只出现其中两种颜色的球，所以当$n = 3$、$4$、$5$、$6$时，这个事件可能发生。
【答案】：
（1）$n = 7$、$8$、$9$；
（2）$n = 1$、$2$；
（3）$n = 3$、$4$、$5$、$6$。

19. (8分)小明和小乐玩猜牌游戏,小明手中有红桃、黑桃、梅花扑克牌共24张,其中红桃8张,黑桃是梅花的2倍少2张。
(1)黑桃有多少张,梅花有多少张?
(2)小乐从小明手中任意抽取一张牌,抽到梅花的概率是多少?抽到哪种花样扑克牌的概率最大?

答案： 【解析】：
(1)设梅花有$x$张，因为黑桃是梅花的$2$倍少$2$张，则黑桃有$(2x - 2)$张。
已知红桃$8$张，三种牌共$24$张，可列方程：
$8+x+(2x - 2)=24$
去括号得：$8+x+2x - 2 = 24$
移项得：$x+2x=24 - 8 + 2$
合并同类项得：$3x=18$
系数化为$1$得：$x = 6$
则黑桃的张数为：$2x-2=2×6 - 2=10$（张）。
所以黑桃有$10$张，梅花有$6$张。
(2)根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有可能出现的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数）。
总共有$24$张牌，梅花有$6$张，所以抽到梅花的概率$P(梅花)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$；
红桃有$8$张，抽到红桃的概率$P(红桃)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$；
黑桃有$10$张，抽到黑桃的概率$P(黑桃)=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$。
比较$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{12}$的大小：
$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$，因为$\frac{3}{12}＜\frac{4}{12}＜\frac{5}{12}$，即$\frac{1}{4}＜\frac{1}{3}＜\frac{5}{12}$。
所以抽到黑桃的概率最大。
【答案】：
(1)黑桃$10$张，梅花$6$张；
(2)抽到梅花的概率是$\frac{1}{4}$，抽到黑桃的概率最大。