《2025年暑假Happy假日七年级数学北师大版》

16. 如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,$OM⊥AB$。
(1)若$∠1= 32^{\circ }$,求$∠BOD$的度数;
(2)如果$∠1= ∠2$,那么$ON与CD$互相垂直吗? 请说明理由。

答案： 【解析】：
(1) 因为$OM\perp AB$，所以$\angle AOM = 90^{\circ}$。
已知$\angle 1 = 32^{\circ}$，则$\angle AOC=\angle AOM-\angle 1 = 90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}$。
又因为$\angle AOC$与$\angle BOD$是对顶角，根据对顶角相等，所以$\angle BOD=\angle AOC = 58^{\circ}$。
(2) 因为$OM\perp AB$，所以$\angle AOM = 90^{\circ}$，即$\angle AOC+\angle 1 = 90^{\circ}$。
又因为$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle AOC+\angle 2 = 90^{\circ}$，即$\angle CON = 90^{\circ}$。
根据垂直的定义，当两条直线相交所成的角为$90^{\circ}$时，这两条直线互相垂直，所以$ON\perp CD$。
【答案】：
(1) $58^{\circ}$；
(2) $ON$与$CD$互相垂直。

17. 把一副三角尺的直角顶点$O$重叠在一起。


(1)如图1,当$OB平分∠COD$时,$∠AOD+∠BOC$的度数是多少?
(2)如图2,当$OB不平分∠COD$时,$∠AOD+∠BOC$的度数是多少?
(3)当$∠BOC$的余角的4倍等于$∠AOD$时,求$∠BOC$的度数。

答案： 【解析】：
(1) 因为$OB$平分$\angle COD$，所以$\angle BOC = \angle BOD = 45^{\circ}$，$\angle AOC = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，则$\angle AOD+\angle BOC=\angle AOC+\angle COD+\angle BOC = 45^{\circ}+90^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$。
(2) 因为$\angle AOC+\angle BOC = 90^{\circ}$，$\angle BOD+\angle BOC = 90^{\circ}$，所以$\angle AOD+\angle BOC=\angle AOC+\angle BOC+\angle BOD+\angle BOC = (\angle AOC+\angle BOC)+(\angle BOD+\angle BOC)=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$。
(3) 设$\angle BOC = x$，则$\angle AOD = 4(90 - x)$，由$\angle AOD+\angle BOC = 180^{\circ}$，可得$4(90 - x)+x = 180$，$360-4x+x = 180$，$-3x = 180 - 360$，$-3x=-180$，解得$x = 60$。
【答案】：
(1)$180^{\circ}$
(2)$180^{\circ}$
(3)$60^{\circ}$