《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

13. 如图，长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$是棱$AA_{1}$的中点，$O$是面对角线$BC_{1}$与$B_{1}C$的交点.
（1）试判断向量$\overrightarrow{EO}$与$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$是否共面；
（2）试判断向量$\overrightarrow{EO}$与$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{DD_{1}}$是否共面.

答案： （1）共面；（2）不共面
解析：（1）设$A(0,0,0)$，则$\overrightarrow{EO}=(a,\dfrac{b}{2},0)$，$\overrightarrow{AC}=(a,b,0)$，$\overrightarrow{AD}=(0,b,0)$，存在$m=1$，$n=-\dfrac{1}{2}$使$\overrightarrow{EO}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}$，共面。
（2）$\overrightarrow{DC}=(a,0,0)$，$\overrightarrow{DD_{1}}=(0,0,c)$，$\overrightarrow{EO}=(a,\dfrac{b}{2},0)$，$y$分量无法由$\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_{1}}$表示，不共面。

14. 已知空间向量$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{PC}$的模长分别为$1$、$2$、$3$，且两两夹角均为$60^{\circ}$. 点$G$为$\triangle ABC$的重心，若$\overrightarrow{PG}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}+z\overrightarrow{PC}$，$x,y,z\in\mathbf{R}$.
（1）求$x$、$y$、$z$的值；
（2）求$|\overrightarrow{PG}|$；
（3）在平面上有如下命题：“若点$O$为直线$AB$外的一点，则点$P$在直线$AB$上的充要条件是：存在实数$\lambda$、$\mu$满足$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，且$\lambda+\mu=1$”. 类比此命题，给出$G$、$A$、$B$、$C$四点共面的充要条件（不要求证明）.

答案： （1）$x=y=z=\dfrac{1}{3}$；（2）$\dfrac{5}{3}$；（3）存在$\lambda,\mu,\nu$使$\overrightarrow{OG}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}+\nu\overrightarrow{OC}$且$\lambda+\mu+\nu=1$
解析：（1）重心性质：$\overrightarrow{PG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$，故$x=y=z=\dfrac{1}{3}$。
（2）$|\overrightarrow{PG}|^2=\dfrac{1}{9}[1+4+9+2(1+1.5+3)]=\dfrac{25}{9}$，$|\overrightarrow{PG}|=\dfrac{5}{3}$。
（3）类比共线条件可得。