《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

8. 若关于$x$的不等式$x^2 - (1 + 2a)x + 2a ＜ 0$的解集中恰有$2$个整数，则实数$a$的取值范围是__________.

答案： $[-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 2]$
解析：不等式化为$(x - 1)(x - 2a) ＜ 0$。$2a ＞ 1$时，解集$(1, 2a)$，整数解为$2, 3$，则$3 ＜ 2a \leq 4$，得$\frac{3}{2} ＜ a \leq 2$；$2a ＜ 1$时，解集$(2a, 1)$，整数解为$0, -1$，则$-2 \leq 2a ＜ -1$，得$-1 \leq a ＜ -\frac{1}{2}$。综上，范围为$[-1, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 2]$。

9. 一元二次方程$ax^2 + 4x + 3 = 0$有一个正根和一个负根的充分非必要条件是（ ）
A. $a ＜ 0$
B. $a ＞ 0$
C. $a ＜ -1$
D. $a ＞ 1$

答案： C
解析：方程有一正一负根需$\Delta ＞ 0$且$\frac{3}{a} ＜ 0$，即$a ＜ 0$。充分非必要条件是$a ＜ 0$的真子集，选项$C$满足。

10. 若$m + n ＞ 0$，则关于$x$的不等式$(m - x) \cdot (n + x) ＞ 0$的解集是（ ）
A. $\{x|x ＜ -n$或$x ＞ m\}$
B. $\{x|-n ＜ x ＜ m\}$
C. $\{x|x ＜ -m$或$x ＞ n\}$
D. $\{x|-m ＜ x ＜ n\}$

答案： B
解析：不等式化为$(x - m)(x + n) ＜ 0$，根为$m$和$-n$，由$m + n ＞ 0$得$m ＞ -n$，解集为$-n ＜ x ＜ m$。

11. 已知$a ＞ 0$，$b \in \mathbf{R}$，若关于$x$的不等式$(ax - 2)(x^2 + bx - 6) \geq 0$在区间$(0, +\infty)$上恒成立，则$4a - b$的最小值是（ ）
A. $2$
B. $2\sqrt{2}$
C. $3$
D. $3\sqrt{2}$

答案： B
解析：$x ＞ 0$时，$ax - 2 = 0$的根$x = \frac{2}{a}$必为$x^2 + bx - 6 = 0$的根，代入得$\left(\frac{2}{a}\right)^2 + b \cdot \frac{2}{a} - 6 = 0$，即$b = 3a - \frac{2}{a}$。$4a - b = 4a - 3a + \frac{2}{a} = a + \frac{2}{a} \geq 2\sqrt{2}$（$a ＞ 0$），最小值$2\sqrt{2}$。

12. 已知关于$x$的绝对值不等式：$|x + 1| + |x - 1| ＞ \frac{a - 4}{a - 1}$。
（1）当$a = 0$时，求不等式的解集；
（2）若对于任意的实数$x$，以上不等式恒成立，求实数$a$的取值范围。

答案： （1）$(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$；（2）$(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$
（1）$a = 0$时，不等式为$|x + 1| + |x - 1| ＞ 4$。$|x + 1| + |x - 1|$最小值为$2$，分段解得$x ＜ -2$或$x ＞ 2$，解集$(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$。
（2）$|x + 1| + |x - 1| \geq 2$，要不等式恒成立，需$2 ＞ \frac{a - 4}{a - 1}$，即$\frac{a - 4}{a - 1} - 2 ＜ 0$，化简得$\frac{-a - 2}{a - 1} ＜ 0$，即$\frac{a + 2}{a - 1} ＞ 0$，解得$a ＜ -2$或$a ＞ 1$。