《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，若$O$为$AC$的中点，则$\overrightarrow{AO}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=$__________.

答案： $\vec{0}$
解析：在长方体中，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$O$为$AC$中点，则$\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$。因此$\overrightarrow{AO}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\vec{0}$。

2. 已知空间向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$两两夹角均为$60^{\circ}$，若其模均为$1$，则$|\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}|=$__________.

答案： $\sqrt{3}$
解析：$|\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}|^2=(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c})^2=\vec{a}^2+\vec{b}^2+4\vec{c}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}-4\vec{a}\cdot\vec{c}-4\vec{b}\cdot\vec{c}$。
因为$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=1×1×\cos60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$，
所以原式$=1+1+4+2×\dfrac{1}{2}-4×\dfrac{1}{2}-4×\dfrac{1}{2}=6+1-2-2=3$，故$|\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}|=\sqrt{3}$。

3. 设$\vec{e}_{1}$、$\vec{e}_{2}$是空间两个不共线的向量，若$\overrightarrow{AB}=2\vec{e}_{1}+k\vec{e}_{2}$，$\overrightarrow{CB}=\vec{e}_{1}+3\vec{e}_{2}$，$\overrightarrow{CD}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}$，且$A$、$B$、$D$三点共线，则$k=$__________.

答案： $-8$
解析：$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2})-(\vec{e}_{1}+3\vec{e}_{2})=\vec{e}_{1}-4\vec{e}_{2}$。
因为$A$、$B$、$D$共线，所以$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BD}$，即$2\vec{e}_{1}+k\vec{e}_{2}=\lambda(\vec{e}_{1}-4\vec{e}_{2})$。
则$\lambda=2$，$k=-4\lambda=-8$。

4. 已知空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，若三根绳子上的拉力大小都为$1\ N$，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为$60^{\circ}$，则该物体的重量为__________$N$.

答案： $\sqrt{6}$
解析：设拉力为$\vec{F}_{1},\vec{F}_{2},\vec{F}_{3}$，重力$\vec{G}=-(\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3})$。
$|\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}|^2=3+2(\vec{F}_{1}\cdot\vec{F}_{2}+\vec{F}_{1}\cdot\vec{F}_{3}+\vec{F}_{2}\cdot\vec{F}_{3})=3+2×3×(1×1×\cos60^{\circ})=3+3=6$，
故物体重量$|\vec{G}|=\sqrt{6}\ N$。

5. 如图，在空间四边形$OABC$中，$M$为$OA$中点，$N$为$BC$的中点，若$\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{x}{3}\overrightarrow{OB}+\dfrac{x}{3}\overrightarrow{OC}$，则使$G$、$M$、$N$三点共线的$x$的值是__________.

答案： $\dfrac{1}{2}$
解析：$\vec{OM}=\dfrac{1}{2}\vec{OA}$，$\vec{ON}=\dfrac{1}{2}(\vec{OB}+\vec{OC})$。设$\vec{OG}=\vec{OM}+t(\vec{ON}-\vec{OM})=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{t}{2}\right)\vec{OA}+\dfrac{t}{2}\vec{OB}+\dfrac{t}{2}\vec{OC}$。
对比$\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\vec{OA}+\dfrac{x}{3}\vec{OB}+\dfrac{x}{3}\vec{OC}$，得$\dfrac{1}{2}-\dfrac{t}{2}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{t}{2}=\dfrac{x}{3}$。解得$t=\dfrac{1}{3}$，$x=\dfrac{1}{2}$。

6. 如图，在长方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为$AC$的中点，设$E$是棱$DD_{1}$上的点，且$\overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DD_{1}}$，若$\overrightarrow{EO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}$，则$x+y+z=$__________.

答案： $-\dfrac{2}{3}$
解析：设$A(0,0,0)$，则$O\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2},0\right)$，$E\left(0,b,\dfrac{2c}{3}\right)$，$\overrightarrow{EO}=\left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2},-\dfrac{2c}{3}\right)$。
对比$\overrightarrow{EO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}$，得$x=\dfrac{1}{2}$，$y=-\dfrac{1}{2}$，$z=-\dfrac{2}{3}$，故$x+y+z=-\dfrac{2}{3}$。

7. 已知$\vec{e}_{1}$、$\vec{e}_{2}$、$\vec{e}_{3}$是三个不共面的非零向量，$\vec{a}=2\vec{e}_{1}-\vec{e}_{2}+\vec{e}_{3}$，$\vec{b}=-\vec{e}_{1}+4\vec{e}_{2}-2\vec{e}_{3}$，$\vec{c}=\lambda\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3}$，若向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$共面，则$\lambda=$__________.

答案： $10$
解析：设$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$，则$\lambda\vec{e}_{1}+2\vec{e}_{2}+2\vec{e}_{3}=(2m-n)\vec{e}_{1}+(-m+4n)\vec{e}_{2}+(m-2n)\vec{e}_{3}$。
解得$m=6$，$n=2$，故$\lambda=2m-n=10$。

8. 已知正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为$1$，若动点$P$在线段$BD_{1}$上运动，则$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AP}$的最大值是__________.

答案： $1$
解析：设$P(t,t,1-t)(t\in[0,1])$，$\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{AP}=(-t,1-t,t)$。
$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{AP}=1-t$，当$t=0$时最大值为$1$。