《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

14. 在$\triangle ABC$中，角$A、B、C$对应边为$a、b、c$，满足$\sin(B-A)+\sqrt{2}\sin A=\sin C$.
（1）求$B$的大小；
（2）① 已知$b=4$，若$D$在$AC$上，且$BD\perp AC$，求$BD$的最大值；
② 延长$BC$至点$M$，使得$2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CM}$，若$\angle CAM=\frac{\pi}{4}$，求$\angle BAC$的大小.

答案： （1）$\frac{\pi}{4}$；（2）① $2+2\sqrt{2}$；② $\frac{\pi}{4}$
（1）$\sin(B-A)+\sqrt{2}\sin A=\sin(A+B)\Rightarrow\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow B=\frac{\pi}{4}$。
（2）① $BD=\frac{ac\sqrt{2}}{8}$，由余弦定理$ac\leq8(2+\sqrt{2})\Rightarrow BD\leq2+2\sqrt{2}$。
② 设$\angle BAC=\alpha$，由正弦定理及三角恒等变换得$\alpha=\frac{\pi}{4}$。

14. 在△ABC中，角A、B、C对应边为a、b、c，满足sin(B−A)+√2 sinA=sinC.
(1)求B的大小；
(2)①已知b=4，若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值；
②延长BC至点M，使得2→BC=→CM，若∠CAM=π/4，求∠BAC的大小.

答案：
(1)由已知sin(B−A)+√2 sinA=sinC，且C=π−A−B，故sinC=sin(A+B).
展开等式左边：sinBcosA−cosBsinA+√2 sinA；右边：sinAcosB+cosAsinB.
化简得：−cosBsinA+√2 sinA=sinAcosB，因sinA≠0，故√2=2cosB，即cosB=√2/2，所以B=π/4.
(2)①设BD=h，△ABC面积S=1/2·AC·h=2h，即h=S/2.由余弦定理16=a²+c²−√2 ac，且a²+c²≥2ac，得ac≤16/(2−√2)=8(2+√2).则S=1/2 ac sinB=√2/4 ac≤√2/4·8(2+√2)=4+4√2，故h≤2+2√2，BD最大值为2+2√2.
②设∠BAC=α，BC=a，CM=2a，∠ACB=3π/4−α，∠ACM=α+π/4，∠AMC=π/2−α.由正弦定理2a/sin(π/4)=AC/sin(π/2−α)，结合AC=a√2 sinα/sin(π/4)，化简得sin2α=1/2.α∈(0,3π/4)，故2α=π/6或5π/6，即α=π/12或5π/12.