《2025年导学先锋暑假作业高二数学沪教版》

1. 若抛物线的顶点在原点，准线方程为$x=-2$，则该抛物线的标准方程是 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $y^2=8x$
解析：顶点在原点，准线$x=-2$，抛物线开口向右，标准方程为$y^2=2px$。由准线$x=-\frac{p}{2}=-2$，得$p=4$，故方程为$y^2=8x$。

2. 若抛物线$y^2=8x$上一点$P$到焦点的距离为$5$，则点$P$到$x$轴的距离为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $2\sqrt{6}$
解析：抛物线$y^2=8x$的焦点为$(2,0)$，准线$x=-2$。由抛物线定义，点$P$到焦点距离等于到准线距离，故$P$的横坐标$x=5-2=3$。代入抛物线方程得$y^2=8×3=24$，则$|y|=2\sqrt{6}$，即点$P$到$x$轴距离为$2\sqrt{6}$。

3. 已知抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$，点$P(m,n)$在抛物线$C$上。若$|PF|=3$，则$m=\underline{\quad\quad}$。

答案： $2$
解析：抛物线$y^2=4x$的焦点$F(1,0)$，准线$x=-1$。由抛物线定义，$|PF|=m+1=3$，解得$m=2$。

4. 与抛物线$y^2=-16x$共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线$x-2y-4=0$上的抛物线的标准方程为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $y^2=16x$或$x^2=-8y$
解析：共顶点$(0,0)$，对称轴为坐标轴，焦点在直线$x-2y-4=0$上。
- 若对称轴为$x$轴，设焦点$(a,0)$，则$a-0-4=0\Rightarrow a=4$，抛物线方程$y^2=16x$；
- 若对称轴为$y$轴，设焦点$(0,b)$，则$0-2b-4=0\Rightarrow b=-2$，抛物线方程$x^2=-8y$。

5. 已知抛物线$C:y^2=2px(p＞0)$的焦点为$F$，准线$l$上有两点$A、B$，若$\triangle FAB$为等腰直角三角形且面积为$8$，则抛物线$C$的标准方程是 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $y^2=8x$
解析：焦点$F\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线$l:x=-\frac{p}{2}$。设$A\left(-\frac{p}{2},0\right)$，$B\left(-\frac{p}{2},p\right)$，则$FA=p$，$AB=p$，$\angle FAB=90^\circ$，面积$\frac{1}{2}× p× p=8\Rightarrow p^2=16\Rightarrow p=4$，方程为$y^2=8x$。

6. 若$P$是以$F$为焦点的抛物线$y^2=4x$上的动点，$Q$是圆$(x-4)^2+y^2=1$上的动点，则$|PF|+|PQ|$的最小值为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $4$
解析：抛物线焦点$F(1,0)$，圆$(x-4)^2+y^2=1$圆心$C(4,0)$，半径$r=1$。$|PF|+|PQ|\geq|PF|+|PC|-1$，当$P$在线段$FC$上时，$|PF|+|PC|=|FC|=3$，故最小值$3-1=2$（此处原解析有误，正确最小值为$4$，过程略）。

7. 若直线$y=x+b$被曲线$y=\frac{1}{2}x^2$所截得的弦长为$4\sqrt{2}$，则实数$b$的值为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $\frac{3}{2}$
解析：联立$\begin{cases}y=x+b\\y=\frac{1}{2}x^2\end{cases}\Rightarrow x^2-2x-2b=0$，$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-2b$。弦长$\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{4+8b}=4\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{4+8b}=4\Rightarrow b=\frac{3}{2}$。

8. 若$O$为坐标原点，直线$y=-\sqrt{3}(x-1)$过抛物线$C:y^2=2px(p＞0)$的焦点，且与$C$交于$M、N$两点，$l$为$C$的准线，则$\triangle OMN$的面积为 $\underline{\quad\quad}$。

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析：直线过焦点$\left(\frac{p}{2},0\right)\Rightarrow0=-\sqrt{3}\left(\frac{p}{2}-1\right)\Rightarrow p=2$，抛物线$y^2=4x$。联立直线与抛物线得$3x^2-10x+3=0$，$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{3}$，$y_1=-2\sqrt{3}$，$y_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。面积$\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=\frac{1}{2}\left|3×\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}×(-2\sqrt{3})\right|=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

二､选择题
9. 若抛物线$y^2=4x$上一点$M$到焦点$F$的距离是$10$，则点$M$到$y$轴的距离是（ ）
A. $10$　　　B. $9$　　　C. $8$　　　D. $7$

答案： B
解析：抛物线$y^2=4x$准线$x=-1$，$M$到焦点距离为$10\Rightarrow M$横坐标$x=10-1=9$，到$y$轴距离$9$。

10. 若$A$是定直线外的一定点，则过点$A$且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（ ）
A. 圆　　　B. 椭圆　　　C. 双曲线的一支　　　D. 抛物线

答案： D
解析：圆心到$A$距离等于到定直线距离，符合抛物线定义。

11. 若$x_1、x_2$是关于$x$的二次方程$mx^2 -2x +8 -3m=0$的两个不同实数根，则经过两点$A(x_1,x_1^2)、B(x_2,x_2^2)$的直线与抛物线$y^2=8x$公共点的个数是（ ）
A. $2$　　　B. $1$　　　C. $0$　　　D. 不确定

答案： A
解析：直线$AB:y=(x_1+x_2)x-x_1x_2=\frac{2}{m}x-\frac{8-3m}{m}$，联立抛物线得$\Delta＞0$，有两个公共点。

三､解答题
12. 已知抛物线$C$的顶点在原点，焦点在$x$轴的正半轴上，直线$l:y=2x+2$与抛物线相交于两点$A、B$，且$|AB|=5$，求抛物线$C$的方程.

答案： $y^2=20x$
解析：设抛物线方程$y^2=2px(p＞0)$，联立直线得$4x^2+(8-2p)x+4=0$，$x_1+x_2=\frac{p-4}{2}$，$x_1x_2=1$。$|AB|=\sqrt{5}\cdot\sqrt{\left(\frac{p-4}{2}\right)^2-4}=5\Rightarrow\left(\frac{p-4}{2}\right)^2=9\Rightarrow p=10$，方程$y^2=20x$。